Как изменится энтропия одноатомного идеального газа, если его давление увеличится в 3 раза, а температура уменьшится

Когда давление и температура изменяются в системе, можно использовать формулу изменения энтропии для идеального газа:

\(\Delta S = C_v \cdot \ln{\left(\frac{T_f}{T_i}\right)} + R \cdot \ln{\left(\frac{V_f}{V_i}\right)}\),

где \(\Delta S\) - изменение энтропии, \(C_v\) - молярная теплоемкость при постоянном объеме, \(T_f\) и \(T_i\) - конечная и начальная температуры соответственно, \(V_f\) и \(V_i\) - соответственно конечный и начальный объемы газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная.

Для одноатомного идеального газа молярная теплоемкость при постоянном объеме, \(C_v\), составляет \(\frac{3}{2} R\).

Дано, что давление увеличится в 3 раза, а температура уменьшится в 2 раза. Давление связано с объемом и температурой уравнением состояния газа \(PV = nRT\), где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная и \(T\) - температура.

В этой задаче можно предположить, что объем газа и количество вещества газа остаются постоянными. Тогда изменения в давлении и температуре будут отражаться на значениях \(P\) и \(T\) в уравнении состояния газа.

Так как давление увеличивается в 3 раза, мы можем записать новое значение давления как \(3P_i\), где \(P_i\) - начальное давление газа.

Температура уменьшается в 2 раза, поэтому новое значение температуры будет \(\frac{1}{2}T_i\), где \(T_i\) - начальная температура газа.

Подставляя эти значения в уравнение состояния газа, получаем:

\((3P_i)(V) = (n)(R)(\frac{1}{2}T_i)\).

Обратите внимание, что объем газа, количество вещества газа и универсальная газовая постоянная остаются постоянными.

Перепишем это уравнение, чтобы выразить \(\frac{V_f}{V_i}\):

\(\frac{V_f}{V_i} = \frac{\frac{1}{2}T_i}{3P_i} = \frac{1}{6} \cdot \frac{T_i}{P_i}\).

Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы выразить изменение энтропии:

\[
\Delta S = \frac{3}{2}R \cdot \ln{\left(\frac{\frac{1}{2}T_i}{T_i}\right)} + R \cdot \ln{\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{T_i}{P_i}\right)}
\]

\[
= \frac{3}{2}R \cdot \ln{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2}R \cdot \ln{\frac{1}{T_i}} + R \cdot \ln{\frac{1}{6}} + R \cdot \ln{\frac{T_i}{P_i}}
\]

\[
= \frac{3}{2}R \cdot (-\ln{2}) + \frac{3}{2}R \cdot (-\ln{T_i}) + R \cdot (-\ln{6}) + R \cdot \ln{T_i} - R \cdot \ln{P_i}
\]

\[
= -\frac{3}{2}R \cdot \ln{2} - \frac{3}{2}R \cdot \ln{T_i} - R \cdot \ln{6} + R \cdot \ln{T_i} - R \cdot \ln{P_i}
\]

\[
= -\frac{3}{2}R \cdot \ln{2} - \frac{1}{2}R \cdot \ln{6} - R \cdot \ln{P_i}
\]

Таким образом, изменение энтропии одноатомного идеального газа будет равно \(-\frac{3}{2}R \cdot \ln{2} - \frac{1}{2}R \cdot \ln{6} - R \cdot \ln{P_i}\).