Как изменится частота свободных колебаний, если в идеальном колебательном контуре с частотой свободных колебаний

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для расчета частоты свободных колебаний в колебательном контуре:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где \(f\) - частота свободных колебаний, \(L\) - индуктивность, а \(C\) - ёмкость.

Изначально дана частота свободных колебаний \(f = 200\) кГц и ёмкость конденсатора \(C = 10\) нФ. Мы хотим найти, как изменится частота свободных колебаний, если ёмкость заменится на \(C = 2,5\) нФ.

Шаг 1: Рассчитаем исходную индуктивность \(L_1\) при исходной ёмкости:

Используем формулу \(f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C}}\), чтобы найти значение \(L_1\):

\[
200 \times 10^3 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 \times 10 \times 10^{-9}}}
\]

Мы можем упростить это уравнение следующим образом:

\[
2\pi\sqrt{L_1 \times 10 \times 10^{-9}} = \frac{1}{200 \times 10^3}
\]
\[
L_1 \times 10 \times 10^{-9} = \left(\frac{1}{200 \times 10^3}\right)^2
\]
\[
L_1 = \frac{\left(\frac{1}{200 \times 10^3}\right)^2}{10 \times 10^{-9}}
\]

После вычислений мы получаем значение \(L_1 \approx 0,0125\) Гн.

Шаг 2: Рассчитаем новую индуктивность \(L_2\) при измененной ёмкости:

Используем формулу \(f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C}}\), чтобы найти значение \(L_2\):

\[
200 \times 10^3 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 \times 2.5 \times 10^{-9}}}
\]

Мы можем упростить это уравнение следующим образом:

\[
2\pi\sqrt{L_2 \times 2.5 \times 10^{-9}} = \frac{1}{200 \times 10^3}
\]
\[
L_2 \times 2.5 \times 10^{-9} = \left(\frac{1}{200 \times 10^3}\right)^2
\]
\[
L_2 = \frac{\left(\frac{1}{200 \times 10^3}\right)^2}{2.5 \times 10^{-9}}
\]

После вычислений мы получаем значение \(L_2 \approx 0,005\) Гн.

Шаг 3: Найдем изменение частоты свободных колебаний:

\[
\Delta f = f_2 - f_1
\]
\[
\Delta f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C}} - \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C}}
\]

Подставим значения \(L_1\), \(L_2\), \(C\) и вычислим:

\[
\Delta f = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.005 \times 2.5 \times 10^{-9}}} - \frac{1}{2\pi\sqrt{0.0125 \times 10 \times 10^{-9}}}
\]

После вычислений мы получаем значение \(\Delta f \approx 1,64\) кГц.

Итак, изменение частоты свободных колебаний составляет примерно 1,64 кГц.