Как изменить заданный графовый граф, чтобы изобразить отношение «иметь равные площади» на множестве X? Что нужно

Чтобы изобразить отношение "иметь равные площади" на графе, мы можем использовать вершины графа для представления различных фигур с разными площадями. Если две фигуры имеют одинаковую площадь, мы будем соединять эти две вершины ребром. Таким образом, граф будет отображать отношение "иметь равные площади" на множестве X.

Теперь давайте рассмотрим, почему это отношение является отношением эквивалентности. Чтобы доказать, что отношение эквивалентности, необходимо проверить три свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

1. Рефлексивность: Каждая фигура имеет равную площадь самой себе. То есть, каждая вершина в графе будет соединена с самой собой. Например, если у нас есть вершина, представляющая фигуру А, и она имеет площадь, равную площади фигуры А, мы добавим ребро, соединяющее эту вершину с самой собой.

2. Симметричность: Если фигура А имеет равную площадь фигуре Б, то и фигура Б имеет равную площадь фигуре А. Поэтому, если у нас есть ребро между вершинами, представляющими фигуры А и Б, то мы добавим ребро между вершинами, представляющими фигуры Б и А.

3. Транзитивность: Если фигура А имеет равную площадь фигуре Б, а фигура Б имеет равную площадь фигуре С, то фигура А также имеет равную площадь фигуре С. Поэтому, если у нас есть два ребра в графе: одно между вершинами, представляющими фигуры А и Б, и второе между вершинами, представляющими фигуры Б и С, то мы добавим ребро между вершинами, представляющими фигуры А и С.

Таким образом, граф, который мы построили, отображает отношение "иметь равные площади" на множестве X и удовлетворяет всем трем свойствам отношения эквивалентности - рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Классы эквивалентности, образуемые из этого отношения, будут представлены компонентами связности в графе. Каждая компонента связности будет содержать все фигуры, которые имеют равные площади друг другу. То есть, все вершины, связанные с помощью ребер, образуют класс эквивалентности. Если мы обозначим каждую компоненту связности буквой \(C_i\), то мы можем сказать, что каждый класс эквивалентности \(C_i\) содержит множество фигур с равными площадями.