Как изменить неравенство sinx*cos3x+cosx*sin3x> =1 2 без потери смысла и объема?

Чтобы изменить неравенство \(\sin{x}\cos{3x}+\cos{x}\sin{3x} \geq \frac{1}{2}\) без потери смысла и объема, мы можем воспользоваться формулами для синуса и косинуса двойного угла.

Давайте рассмотрим, что представляют собой слагаемые в левой части данного неравенства. У нас есть \(\sin{x}\cos{3x}\) и \(\cos{x}\sin{3x}\). Мы можем заменить \(\cos{3x}\) на \(\cos{(2x+x)}\) и \(\sin{3x}\) на \(\sin{(2x+x)}\) согласно формулам для синуса и косинуса двойного угла.

Получим: \(\sin{x}\cos{(2x+x)}+\cos{x}\sin{(2x+x)} \geq \frac{1}{2}\).

Теперь, по формуле для синуса суммы двух углов, можем разложить \(\sin{(2x+x)}\) и \(\cos{(2x+x)}\).

Получим: \(\sin{x}(\cos{2x}\cos{x}-\sin{2x}\sin{x})+\cos{x}(\sin{2x}\cos{x}+\cos{2x}\sin{x}) \geq \frac{1}{2}\).

Продолжим упрощать данное выражение, раскрывая скобки и выполняя простые алгебраические операции:

\[\sin{x}\cos{2x}\cos{x}-\sin{x}\sin{2x}\sin{x}+\cos{x}\sin{2x}\cos{x}+\cos{x}\cos{2x}\sin{x} \geq \frac{1}{2}.\]

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие синусы и косинусы:

\[\sin{x}\cos{x}\cos{2x}+\cos{x}\sin{x}\cos{2x}+\sin{x}\cos{x}\sin{2x}+\cos{x}\sin{x}\sin{2x} \geq \frac{1}{2}.\]

Используя свойства коммутативности и ассоциативности умножения, можно упростить данное выражение:

\[\sin{x}\cos{x}(\cos{2x}+\sin{2x})+\cos{x}\sin{x}(\cos{2x}+\sin{2x}) \geq \frac{1}{2}.\]

Теперь мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель \((\cos{2x}+\sin{2x})\). Вынесем его за скобки:

\[(\cos{2x}+\sin{2x})(\sin{x}\cos{x}+\cos{x}\sin{x}) \geq \frac{1}{2}.\]

Заметим, что \(\sin{x}\cos{x}+\cos{x}\sin{x}\) равно единице, так как это просто сумма одинаковых слагаемых с коэффициентом 1. Таким образом, получаем:

\[(\cos{2x}+\sin{2x})(1) \geq \frac{1}{2}.\]

Упрощаем выражение:

\[\cos{2x}+\sin{2x} \geq \frac{1}{2}.\]

Таким образом, мы изменили данное неравенство \(\sin{x}\cos{3x}+\cos{x}\sin{3x} \geq \frac{1}{2}\) без потери смысла и объема до \(\cos{2x}+\sin{2x} \geq \frac{1}{2}\).

Важно заметить, что данное изменение неравенства основано на использовании свойств синуса и косинуса двойного угла, а также свойств коммутативности и ассоциативности умножения, что не изменяет общий смысл и объем исходного неравенства.