Как доказать, что в выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB не превышает сумму сторон AD и BC, если сторона AB видна

Для доказательства данного утверждения вам понадобятся некоторые свойства выпуклых четырёхугольников и знание о соотношениях длин сторон и углов. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

1. Для начала, давайте обратимся к свойству выпуклого четырёхугольника ABCD. В выпуклом четырёхугольнике сумма длин противоположных сторон всегда больше суммы длин смежных сторон. Это называется неравенством треугольника.

2. По условию задачи сторона AB видна из середины стороны CD под прямым углом. Это означает, что точка M, являющаяся серединой стороны CD, лежит на перпендикуляре к стороне AB. Пусть перпендикуляр пересекает сторону AB в точке N.

3. Рассмотрим треугольники AMN и BMN. Поскольку AB является гипотенузой прямоугольного треугольника AMN, а MN - его медианой, то по теореме Пифагора справедливо следующее соотношение: \( AM^2 = MN^2 + AN^2 \).

4. Аналогично, в прямоугольном треугольнике BMN, \( BM^2 = MN^2 + BN^2 \).

5. Теперь сложим полученные равенства: \( AM^2 + BM^2 = MN^2 + AN^2 + MN^2 + BN^2 = 2MN^2 + (AN^2 + BN^2) \).

6. Используя неравенство треугольника, мы можем записать, что длина отрезка AN и длина отрезка BN необходимо меньше суммы длин отрезков AD и BC соответственно, то есть \( AN^2 + BN^2 < AD^2 + BC^2 \).

7. Отсюда следует, что \( 2MN^2 + (AN^2 + BN^2) < 2MN^2 + (AD^2 + BC^2) \).

8. Так как MN является медианой стороны CD в треугольнике ABCD, то по свойству медианы справедливо соотношение: \( 2MN^2 < AD^2 + BC^2 \).

9. Отсюда мы можем заключить, что \( AM^2 + BM^2 < AD^2 + BC^2 \).

10. Поскольку AM и BM являются сторонами четырёхугольника ABCD, исходя из свойства выпуклых четырёхугольников (пункт 1), можно сделать вывод, что сторона AB не превышает сумму сторон AD и BC: \( AB < AD + BC \).

Таким образом, мы доказали, что в выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB не превышает сумму сторон AD и BC при условиях, описанных в задаче.