Как доказать, что прямая ad является перпендикуляром к плоскости abc?

Чтобы доказать, что прямая \(ad\) является перпендикуляром к плоскости \(abc\), нам понадобится использовать некоторые свойства геометрии.

Во-первых, нам нужно знать, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то любая ее прямая, проведенная в этой плоскости, будет также перпендикулярна к этой прямой. Также мы знаем, что для того чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, она должна быть перпендикулярна ко всем прямым в этой плоскости.

Итак, для начала нам нужно проверить, перпендикулярна ли прямая \(ad\) к любой прямой в плоскости \(abc\). Для этого выберем произвольную прямую в плоскости \(abc\) и проверим ее взаимное положение с прямой \(ad\).

Предположим, что мы выбираем произвольную прямую \(ab\) в плоскости \(abc\). Чтобы доказать, что прямая \(ad\) перпендикулярна к плоскости \(abc\), мы должны показать, что прямая \(ad\) перпендикулярна к прямой \(ab\).

Чтобы это сделать, мы можем использовать свойство перпендикулярности, согласно которому, если две прямые перпендикулярны между собой, то их углы наклона являются взаимно обратными и их произведение равно -1.

Пусть для удобства координаты точек \(a\), \(b\) и \(d\) равны \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\) и \(D(x_3, y_3, z_3)\) соответственно.

Тогда векторы \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix}\) и \(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} x_3 - x_1 \\ y_3 - y_1 \\ z_3 - z_1 \end{pmatrix}\) являются направляющими векторами прямых \(ab\) и \(ad\) соответственно.

Применяя свойство перпендикулярности, мы можем записать условие:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0\)

Раскрывая скалярное произведение, получим:
\((x_2 - x_1)(x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1) + (z_2 - z_1)(z_3 - z_1) = 0\)

Если это уравнение выполняется для любых \(x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3, z_1, z_2, z_3\), то прямая \(ad\) будет перпендикулярна к прямой \(ab\) и, следовательно, перпендикулярна к плоскости \(abc\).

Таким образом, доказано, что прямая \(ad\) является перпендикуляром к плоскости \(abc\).