Как будете записывать уравнение касательной к графику функции f (x) = 4x^2 + 6x - 3 в точке Xo

Хорошо, чтобы записать уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) = 4\(x^2\) + 6\(x\) - 3 в точке \(X_0\), мы можем использовать производную функции. Производная функции \(f(x)\) показывает изменение функции при изменении аргумента \(x\). Искать уравнение касательной, мы должны найти значение производной в точке \(X_0\).

Давайте сначала найдем производную функции \(f(x)\). Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и применим правила дифференцирования.

\(f"(x) = (4x^2)" + (6x)" - (3)"\)

Дифференцируя каждое слагаемое, мы получим:

\(f"(x) = 8x + 6\)

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, нужно вычислить значение производной \(f"(x)\) в точке \(X_0\). Подставим \(X_0\) вместо \(x\) в выражение для производной:

\(f"(X_0) = 8X_0 + 6\)

Теперь мы имеем значение производной в точке \(X_0\). Чтобы найти наклон \(m\) касательной, мы используем это значение.

Из уравнения прямой \(y = mx + b\) наклон \(m\) касательной равен значению производной в точке \(X_0\). Таким образом, \(m = f"(X_0)\).

Теперь, чтобы найти точку пересечения \(b\) с осью \(y\) (т.е. значение функции в точке \(X_0\)), мы подставляем \(X_0\) в уравнение функции \(f(x)\):

\(y_0 = f(X_0)\)

Теперь у нас есть значение наклона \(m\) и точка пересечения \((X_0, y_0)\). Мы можем записать уравнение касательной в точке \(X_0\) следующим образом:

\(y = m(x - X_0) + y_0\)

Подставляя значения \(m\), \(X_0\) и \(y_0\), получаем окончательное уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(X_0\):

\[y = (8X_0 + 6)(x - X_0) + f(X_0)\]

Это и есть искомое уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) = 4\(x^2\) + 6\(x\) - 3 в точке \(X_0\).