К какой длине равно каждое из двух внутренних секущих отрезков, проведенных из одной точки до окружности, если

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть у нас есть окружность с центром в точке O и радиусом r. Проведем две внутренние секущие отрезка, которые пересекают окружность в точках A и B. Длина каждого из этих внутренних секущих отрезков будем обозначать как x.

Также, у нас есть внешний секущий отрезок, который составляет 2 раза меньше отрезка x. Пусть длина внешнего секущего отрезка будет равна y.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOB. Этот треугольник является равнобедренным, так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности и, следовательно, равны между собой. Кроме того, отрезок AB является основанием этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, делит основание на две равные части. Таким образом, отрезок AB разделяется биссектрисой пополам, и каждая половина равна x/2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OMB. Здесь отрезок OB является гипотенузой, а отрезки OM и MB являются катетами. Мы знаем, что длина OM равна x/2, а длина MB равна y/2.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы. Применяя эту теорему к треугольнику OMB, получаем следующее уравнение:

$(x/2{)}^2+(y/2{)}^2=r^2$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$x^2+y^2=4r^2$

Это уравнение позволяет нам найти связь между длинами отрезков x и y и радиусом окружности.

Однако, у нас есть еще одно условие в задаче: внешний отрезок составляет 2 раза меньше отрезка x. Мы можем выразить это в виде уравнения:

$y=2x$

Теперь мы имеем два уравнения:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4r^2\\ y=2x\end{array}$

Теперь решим эту систему уравнений.

Подставим второе уравнение в первое, чтобы избавиться от переменной y:

$x^2+(2x{)}^2=4r^2$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2+4x^2=4r^2$

$5x^2=4r^2$

Теперь выразим x через r:

$x^2=\frac{4r^2}{5}$

$x=\sqrt{\frac{4r^2}{5}}$

Таким образом, длина каждого из двух внутренних секущих отрезков равна $\sqrt{\frac{4r^2}{5}}$.

Теперь давайте найдем длину внешнего отрезка, используя уравнение $y=2x$. Подставим выражение для x в это уравнение:

$y=2\sqrt{\frac{4r^2}{5}}$

Упростим:

$y=2\cdot \frac{2r}{\sqrt{5}}$

$y=\frac{4r}{\sqrt{5}}$

Таким образом, длина внешнего секущего отрезка равна $\frac{4r}{\sqrt{5}}$.

Итак, мы получили, что каждое из двух внутренних секущих отрезков равно $\sqrt{\frac{4r^2}{5}}$, а внешний отрезок равен $\frac{4r}{\sqrt{5}}$.