Известно, что треугольник АВС является равнобедренным, где АВ = АС = 10 и ВС = 16. Вписанная окружность имеет центр

Для начала, давайте обозначим точки наше треугольника: \(A\), \(B\), и \(C\), где \(AB = AC = 10\) и \(BC = 16\).

Так как треугольник равнобедренный, мы знаем, что высота, опущенная из вершины \(A\) на основание \(BC\), будет являться медианой и биссектрисой. Пусть точка пересечения высоты и основания будет обозначена как \(H\).

Также, у нас есть вписанная окружность с центром в точке \(O\). Пусть точка пересечения стороны \(AC\) с окружностью будет обозначена как \(M\), а точка пересечения стороны \(AB\) с окружностью обозначена как \(T\).

Теперь давайте разберемся с прямой, параллельной стороне \(BC\) и проходящей через центр окружности \(O\). Обозначим точку пересечения этой прямой с стороной \(AC\) как точку \(N\), а точку пересечения этой прямой с стороной \(AB\) как \(P\).

Мы знаем, что основание высоты \(BC\) является средней линией треугольника \(AMH\), так как точка \(C\) - середина стороны \(AM\). Значит, \(BH = \frac{BC}{2} = \frac{16}{2} = 8\).

Также, у нас есть следующее соотношение между радиусом окружности и сторонами треугольника: радиус окружности делится равномерно на трое, а каждая из трех частей равна расстоянию от основания треугольника до точки пересечения окружности со стороной.

Поэтому, \(BN = \frac{BH}{3}\) и \(AN = \frac{AC}{3} = \frac{10}{3}\).

Давайте рассмотрим треугольник \(BAN\) и рассчитаем его стороны.

Мы знаем, что сторона \(AB\) равна 10, сторона \(AN\) равна \(\frac{10}{3}\), поскольку \(AN\) - одна треть стороны \(AC\), и сторона \(BN\) равна \(\frac{8}{3}\), так как \(BN\) - одна треть основания высоты \(BH\).

С помощью формулы треугольника \(BAN\) мы можем найти углы этого треугольника. Обозначим угол \(B\) как \(\angle BAN\), угол \(A\) как \(\angle ABN\), и угол \(N\) как \(\angle ANB\).

Используя закон синусов, мы можем записать следующее соотношение для треугольника \(BAN\):

\[
\frac{10}{\sin(B)} = \frac{\frac{10}{3}}{\sin(N)}
\]

Разрешим это соотношение относительно угла \(N\):

\[
\sin(N) = \frac{\sin(B)}{3} \implies N = \arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)
\]

Теперь, давайте вернемся к треугольнику \(ABC\).

Мы получили, что угол \(N\) равен \(\arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)\). Тогда угол \(T\) равен \(180° - N\) и угол \(M\) также равен \(180° - N\).

Поскольку углы \(N\), \(T\) и \(M\) являются углами треугольника \(CAM\), то они суммируются до \(180°\). Мы можем записать следующее соотношение:

\[
N + T + M = 180° \implies \arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right) + T + \arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right) = 180°
\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно угла \(T\):

\[
T = 180° - 2\arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)
\]

Таким образом, мы нашли угол \(T\). Мы также можем найти угол \(M\) с помощью того же угла \(N\), так как они равны.

Итак, мы нашли все углы треугольника \(AMT\). Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны \(MT\).

В треугольнике \(AMT\) у нас есть следующее соотношение:

\[
\frac{MT}{\sin(T)} = \frac{10}{\sin(M)}
\]

Подставим найденные значения углов \(T\) и \(M\) в это соотношение:

\[
\frac{MT}{\sin\left(180° - 2\arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)\right)} = \frac{10}{\sin\left(\arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)\right)}
\]

Теперь, используя основные тригонометрические соотношения, мы можем упростить это выражение и решить его относительно стороны \(MT\):

\[
MT = \frac{10 \cdot \sin\left(180° - 2\arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)\right)}{\sin\left(\arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)\right)}
\]

Таким образом, мы рассчитали значение стороны \(MT\).

Ответ: сторона \(MT\) равна \(\frac{10 \cdot \sin\left(180° - 2\arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)\right)}{\sin\left(\arcsin\left(\frac{\sin(B)}{3}\right)\right)}\).