Известен треугольник abc, у которого один из углов острый. Биссектриса внутреннего угла, образованного сторонами

Для доказательства равенства углов, нам понадобится использовать свойства биссектрис треугольника.

а) Доказательство:
Для начала, обратим внимание на то, что точка M является точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла A и биссектрисы внешнего угла C. Точка N - это точка пересечения биссектрисы внутреннего угла C и биссектрисы внешнего угла B.

Чтобы доказать равенство углов, давайте рассмотрим следующие три треугольника: треугольник AMB, треугольник BNC и треугольник ABC.

1. Треугольник AMB:
a) Угол MAB равен половине угла A (по свойству биссектрисы)
б) Угол MBA равен половине угла B (по свойству биссектрисы)

2. Треугольник BNC:
a) Угол NBC равен половине угла C (по свойству биссектрисы)
б) Угол NCB равен половине угла B (по свойству биссектрисы)

3. Треугольник ABC:
Угол ABC равен полусумме углов A и B (по свойству биссектрисы)

Теперь, если мы рассмотрим угол BMN, то он будет равен разности углов MBA и NBC:
Угол BMN = Угол MBA - Угол NBC

Подставив значения, получим:
Угол BMN = (половина угла A) - (половина угла C)
Угол BMN = (1/2) * A - (1/2) * C
Угол BMN = (A - C) / 2

С учетом того, что угол ABC равен полусумме углов A и B, получаем следующее:
Угол ABC = (A + B) / 2

Теперь сравним выражения для угла BMN и угла ABC:
Угол BMN = (A - C) / 2
Угол ABC = (A + B) / 2

Отсюда следует, что угол BMN равен половине угла ACB, что и требовалось доказать.

б) Найдем длину отрезка BM:
Для этого нам потребуется использовать свойства отношения биссектрис в треугольнике.

Из задачи известно, что AB = AC = 10 и BC = 12.

Воспользуемся формулой отношения биссектрис:
\(\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\)

Подставим известные значения:
\(\frac{MB}{MC}=\frac{10}{10}\)
\(\frac{MB}{MC}=1\)

С учетом того, что BM + MC = BC:
BM + MC = 12

Можем записать:
BM + BM = 12
2BM = 12
BM = 12/2
BM = 6

Итак, длина отрезка BM составляет 6.

Надеюсь, ответ был понятен. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.