Изменится ли комплексное число, если вектор, изображающий 1z , будет сжат в 3,5 раза и повёрнут на угол 4 3π ? Если

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выполнить два действия над комплексным числом \(z\): сжатие вектора в 3,5 раза и поворот на угол \(4\frac{3}{\pi}\).

Сжатие вектора в 3,5 раза означает умножение на число \(3,5\) в комплексной плоскости. Для выполнения этого действия умножим комплексное число \(z\) на \(3,5\). После сжатия, у нас будет получено новое комплексное число \(w_1\).

Поворот вектора на угол \(4\frac{3}{\pi}\) также изменит исходное комплексное число. Для этого применяем формулу поворота в комплексной плоскости: \[w_2 = w_1 \cdot e^{i \cdot \theta}\], где \(w_1\) - комплексное число после сжатия, \(\theta\) - угол поворота в радианах, \(e\) - число Эйлера.

Теперь, когда мы знаем, что нам нужно сделать, давайте выполним все вычисления:

1. Сжатие вектора в 3,5 раза:
Пусть \(z = a + bi\) (где \(a\) и \(b\) - действительная и мнимая части комплексного числа \(z\)).
Тогда сжатый вектор будет равен \(w_1 = 3,5(a + bi)\).
Раскроем скобки и упростим: \(w_1 = 3,5a + 3,5bi\).

2. Поворот вектора на угол \(4\frac{3}{\pi}\):
Применяем формулу поворота из предыдущего шага:
\(w_2 = w_1 \cdot e^{i \cdot \theta}\).
Здесь \(\theta = 4\frac{3}{\pi}\), а \(e^{i \cdot \theta}\) - экспонента с углом поворота \(\theta\).

Вычислим значение экспоненты:
\(e^{i \cdot \theta} = \cos(\theta) + i \cdot \sin(\theta)\).
Заменим значение \(4\frac{3}{\pi}\) в формуле и рассчитаем тригонометрическую функцию:
\(e^{i \cdot 4\frac{3}{\pi}} = \cos(4\frac{3}{\pi}) + i \cdot \sin(4\frac{3}{\pi})\).

Теперь выполним вычисления:
\(\cos(4\frac{3}{\pi}) = \cos(\frac{12}{\pi})\),
\(\sin(4\frac{3}{\pi}) = \sin(\frac{12}{\pi})\).

После всех вычислений мы найдем значение \(w_2\).
Оно будет комплексным числом, соответствующим полученному вектору после сжатия и поворота.

Обратите внимание, что значения \(a\) и \(b\) в исходном комплексном числе \(z\) не указаны в задаче. Если вам известны эти значения или выполняется дополнительное условие, то вы сможете точно определить полученное комплексное число \(w_2\).