Из ЯКЛАСС Находится решения уравнения: tgπ5−tg2xtgπ5⋅tg2x+1=3–√, где x принадлежит интервалу [-π;2π]. Парафраза

Решим данное уравнение пошагово:

1. Подставим значение интервала [-π; 2π] в уравнение и упростим его:
\(\mathrm{tg}(\pi/5) - \mathrm{tg}(2x)\mathrm{tg}(\pi/5) + 1 = 3 - \sqrt{3}\)

2. Перепишем уравнение с использованием более простых обозначений для удобства:
\(a - bcd + 1 = 3 - \sqrt{3}\), где \(a = \mathrm{tg}(\pi/5)\), \(b = \mathrm{tg}(\pi/5)\) и \(c = \mathrm{tg}(2x)\)

3. Выразим \(x\) из данного уравнения. Для этого сначала перенесем все слагаемые, содержащие \(x\), на одну сторону уравнения:
\(bcd = a + 1 - 3 + \sqrt{3}\)

4. Упростим математическое выражение на правой стороне:
\(bcd = a - 2 + \sqrt{3}\)

5. Разделим обе части уравнения на \(bc\):
\(d = \frac{a - 2 + \sqrt{3}}{bc}\)

6. Заметим, что \(a = \mathrm{tg}(\pi/5)\) и \(b = \mathrm{tg}(\pi/5)\). Подставим значения \(a\) и \(b\) вместо переменных:
\(d = \frac{\mathrm{tg}(\pi/5) - 2 + \sqrt{3}}{\mathrm{tg}(\pi/5)\mathrm{tg}(2x)}\)

7. Итак, корень \(x\) этого уравнения равен:
\(x = \frac{1}{2}\mathrm{arccos}\left(\frac{\mathrm{tg}(\pi/5) - 2 + \sqrt{3}}{\mathrm{tg}(\pi/5)}\right)\)

Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос:

1. Уравнение имеет только один корень, так как мы получили конкретное выражение для \(x\).

2. Наименьший корень этого уравнения равен \(x = \frac{1}{2}\mathrm{arccos}\left(\frac{\mathrm{tg}(\pi/5) - 2 + \sqrt{3}}{\mathrm{tg}(\pi/5)}\right)\) при подстановке значений функций тригонометрии.

3. Наибольший корень этого уравнения также равен \(x = \frac{1}{2}\mathrm{arccos}\left(\frac{\mathrm{tg}(\pi/5) - 2 + \sqrt{3}}{\mathrm{tg}(\pi/5)}\right)\), так как уравнение не имеет других корней в заданном интервале.

Надеюсь, это поможет вам понять и решить данную задачу! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.