Из урны, содержащей 7 шаров, извлекаются 3 шара наудачу. Если в урне 4 голубых шара, то как распределено количество

Данная задача связана с теорией вероятностей и случайными величинами. Давайте решим ее шаг за шагом.

1. Распределение голубых шаров:
Из условия задачи мы знаем, что в урне содержится 4 голубых шара. Обозначим эту случайную величину как X. Так как из урны извлекается 3 шара наудачу, то количество извлеченных голубых шаров будет принимать значения от 0 до 3.

2. Найдем вероятности для каждого значения X:
- Количество извлеченных голубых шаров(X) = 0:
Здесь отсутствуют голубые шары вообще, поэтому вероятность будет равна количеству способов выбрать 3 шара из 7 шаров без голубых (т.е., выбрать 3 шара из оставшихся 3 шаров) и разделить на общее количество способов выбрать 3 шара из 7: \(\frac{{C_3^3}}{{C_7^3}} = \frac{1}{35}\).
- Количество извлеченных голубых шаров(X) = 1:
Здесь нам нужно выбрать 1 голубой шар из 4 и 2 шара из оставшихся 3 не голубых шаров. Вероятность будет равна: \(\frac{{C_1^1 \cdot C_3^2}}{{C_7^3}} = \frac{3}{35}\).
- Количество извлеченных голубых шаров(X) = 2:
Здесь нам нужно выбрать 2 голубых шара из 4 и 1 не голубой шар из оставшихся 3 шаров. Вероятность будет равна: \(\frac{{C_2^2 \cdot C_3^1}}{{C_7^3}} = \frac{6}{35}\).
- Количество извлеченных голубых шаров(X) = 3:
Здесь нам нужно выбрать 3 голубых шара из 4, так как оставшихся шаров нет. Вероятность будет равна: \(\frac{{C_4^3}}{{C_7^3}} = \frac{4}{35}\).

3. Вычислим математическое ожидание:
Математическое ожидание E(X) для данной случайной величины можно найти, учитывая вероятности для каждого значения X:
\[E(X) = \sum X \cdot P(X)\]
\[E(X) = 0 \cdot \frac{1}{35} + 1 \cdot \frac{3}{35} + 2 \cdot \frac{6}{35} + 3 \cdot \frac{4}{35}\]
\[E(X) = \frac{26}{35} \approx 0.743\]

4. Найдем дисперсию:
Дисперсия Var(X) это мера разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии, мы должны найти квадрат разности между каждым значением случайной величины (X) и математическим ожиданием (E(X)), умноженное на соответствующую вероятность, и затем сложить все полученные значения:
\[Var(X) = \sum (X - E(X))^2 \cdot P(X)\]
\[Var(X) = (0 - \frac{26}{35})^2 \cdot \frac{1}{35} + (1 - \frac{26}{35})^2 \cdot \frac{3}{35} + (2 - \frac{26}{35})^2 \cdot \frac{6}{35} + (3 - \frac{26}{35})^2 \cdot \frac{4}{35}\]
\[Var(X) = \frac{86}{315} \approx 0.273\]

5. Построим график распределения:
Для построения графика распределения будем использовать вероятности, найденные в пункте 2.

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|------|-----|-----|-----|-----|
| P(X) | 1/35| 3/35| 6/35| 4/35|

Теперь построим столбчатую диаграмму, где по оси X отложены значения X, а по оси Y - соответствующие вероятности:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
X & 0 & 1 & 2 & 3 \\
P(X) & \frac{1}{35} & \frac{3}{35} & \frac{6}{35} & \frac{4}{35}
\end{{array}}
\]

Это завершает решение задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их.