Из точки k, которая находится вне плоскости альфа, проведены к этой плоскости наклонные ka и kb, углы между ними

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства проекции вектора на плоскость.

Для начала, обратимся к треугольнику, образованному векторами $\overrightarrow{ka}$ и $\overrightarrow{kb}$. Из условия задачи у нас имеются два известных угла этого треугольника: угол между $\overrightarrow{ka}$ и плоскостью альфа, равный 45°, и угол между $\overrightarrow{kb}$ и плоскостью альфа, равный 30°.

По определению проекции, длина проекции вектора $\overrightarrow{kb}$ на плоскость альфа будет равна произведению длины вектора $\overrightarrow{kb}$ на косинус угла между вектором и плоскостью альфа.

Теперь нам нужно выразить косинус этого угла через известные данные. Для этого воспользуемся формулой косинусов в треугольнике.

Пусть $x$ - искомая длина проекции вектора $\overrightarrow{kb}$ на плоскость альфа.

Зададим треугольник, используя известные данные:
Сторона $ka$ равна 8√6 см.
Угол между сторонами $ka$ и $kb$ равен 45°.
Угол между сторонами $ka$ и $x$ будет равен 30°.

Применяем формулу косинусов для треугольника:
$\cos 45°=\frac{k{a}^2+k{b}^2-x^2}{2\cdot ka\cdot kb}$

Подставляем известные значения:
$\cos 45°=\frac{(8\sqrt{6}{)}^2+k{b}^2-x^2}{2\cdot 8\sqrt{6}\cdot kb}$

Упрощаем:
$\cos 45°=\frac{48+k{b}^2-x^2}{16\sqrt{6}\cdot kb}$

Так как $\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{48+k{b}^2-x^2}{16\sqrt{6}\cdot kb}$

Теперь можем упростить уравнение:
$\sqrt{2}\cdot 16\sqrt{6}\cdot kb=48+k{b}^2-x^2$

Домножаем и сокращаем корни:
$32\sqrt{12}\cdot kb=48+k{b}^2-x^2$

Дальше можем привести уравнение к виду квадратного трехчлена:
$x^2=k{b}^2-32\sqrt{12}\cdot kb+48$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $x^2$. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень:

$$x=\sqrt{k{b}^2-32\sqrt{12}\cdot kb+48}$$

Таким образом, длина проекции наклонной $kb$ на плоскость альфа будет равна корню из выражения $k{b}^2-32\sqrt{12}\cdot kb+48$.

Пользуясь данными, что $ka=8\sqrt{6}$ см, мы можем вычислить конечный результат.

Обратите внимание, что для положительности корня и для получения конкретного числового значения, нужно использовать значение $kb$, отличное от 8\sqrt{6}. Если вам известно значение $kb$, пожалуйста, предоставьте его, чтобы я мог вычислить длину проекции наклонной $kb$ на плоскость альфа.