IV. (Question 16) In trapezoid ABCD with bases AB = 10 and CD = 26, the diagonals intersect at point O

Решим поставленную задачу шаг за шагом. Для начала, давайте разберемся с частью вопроса, связанной с радиусом описанной окружности треугольника ABC.

Для нахождения радиуса окружности, в которой описан треугольник, нам понадобится использовать теорему о радиусе описанной окружности, которая гласит: "Радиус описанной окружности треугольника равен произведению сторон треугольника, разделенному на удвоенную площадь этого треугольника".

Используя данную информацию, мы можем выразить радиус описанной окружности треугольника ABC следующим образом:

\[ R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot S_{ABC}} \]

Здесь R - радиус описанной окружности, AB, BC, AC - стороны треугольника, а \( S_{ABC} \) - его площадь.

Для определения площади треугольника ABC мы можем использовать формулу площади треугольника через высоту к основанию:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \]

Так как у нас даны основания трапеции AB = 10 и CD = 26, и диагонали перпендикулярны боковым сторонам, то высота треугольника ABC будет равна высоте трапеции.

Теперь мы можем перейти к поиску высоты трапеции.

Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AOD:

\[ OD^2 = OA^2 + AD^2 \]

Однако, нам неизвестны длины сторон треугольника AOD. Нам потребуется дополнительная информация.

Теперь рассмотрим часть вопроса, касающуюся отношения sin BAC / sin BDA.

Используя теорему синусов в треугольнике ABC, мы можем выразить отношение sin BAC / sin BDA:

\[ \frac{{\sin BAC}}{{\sin BDA}} = \frac{{AC}}{{AD}} \]

Однако, нам неизвестны значения AC и AD. Также, нам не даны никакие дополнительные сведения о треугольнике ABC.

И, наконец, перейдем к поиску площади треугольника AOD.

К сожалению, без дополнительной информации нам будет сложно найти площадь треугольника AOD.

Итак, чтобы решить задачу, нам необходимо дополнительные данные или уточнения. Без них мы не сможем определить значения, которые требуются в задаче.