Используя правила вычисления производных, найдите следующие выражения: 1. 1) Найти производную функции f(x) = 3x - √3; 2) Найти производную функции f(x) = x^3 - √(3x); 3) Найти производную функции f(x) = x^2 + 3x - √2; 4) Найти производную функции f(x) = x^3 - √(7x) + п; 5) Найти производную функции f(x) = 5x^-4 + 2x - √5; 6) Найти производную функции f(x) = (2/5)x^5 - √(3^x^2) - 7.
2. 1) Найти производную функции f(x) = 3x(x - 1); 2) Найти производную функции f(x) = x^2(x^3 - √(3x)); 3) Найти производную функции f(x) = (x^2 + 3)(x - 5); 4) Найти производную функции f(x) = 2/x - √7x; 5) Найти производную функции f(x) = (x - 2)/(x + 3) - 5x; 6) Найти производную функции f(x) = (x^2 - 2x)/(x - 4) - 3x + 2.
2. 1) Найти производную функции f(x) = 3x(x - 1); 2) Найти производную функции f(x) = x^2(x^3 - √(3x)); 3) Найти производную функции f(x) = (x^2 + 3)(x - 5); 4) Найти производную функции f(x) = 2/x - √7x; 5) Найти производную функции f(x) = (x - 2)/(x + 3) - 5x; 6) Найти производную функции f(x) = (x^2 - 2x)/(x - 4) - 3x + 2.
Смурфик
Конечно! Давайте решим эти задачи по порядку.
1) Найти производную функции \(f(x) = 3x - \sqrt{3}\).
Для начала, давайте вспомним некоторые правила вычисления производных.
Для функции вида \(f(x) = ax^n\), где \(a\) и \(n\) - константы, производная вычисляется следующим образом: производная функции равна произведению константы \(a\) на \(n\), и \(n\) уменьшается на единицу. То есть, если \(f(x) = ax^n\), то \(f"(x) = anx^{n-1}\).
Теперь применим это правило к задаче:
\(f(x) = 3x - \sqrt{3}\)
Для первого слагаемого (3x) у нас \(a = 3\) и \(n = 1\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(3 \cdot 1x^{1-1} = 3\).
Для второго слагаемого \(-\sqrt{3}\) важно знать, что производная от константы равна нулю. Поэтому производная этого слагаемого будет равна 0.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 3 - 0 = 3\).
2) Найти производную функции \(f(x) = x^3 - \sqrt{3x}\).
Применим те же самые правила, о которых я упомянул ранее:
\(f(x) = x^3 - \sqrt{3x}\)
Для первого слагаемого (x^3) у нас \(a = 1\) и \(n = 3\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(1 \cdot 3x^{3-1} = 3x^2\).
Для второго слагаемого \(-\sqrt{3x}\) мы применим правило для производной квадратного корня. Если \(g(x) = \sqrt{3x}\), то \(g"(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x}}\). Помните, что мы также должны учитывать производную внутренней функции, которая здесь является \(3x\). Таким образом, производная этого слагаемого будет равна:
\(-\frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot 3\) (производная функции \(\sqrt{3x}\)) = \(-\frac{3}{2\sqrt{3x}}\).
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{3x}}\).
3) Найти производную функции \(f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}\).
Применим те же правила:
\(f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}\)
Для первого слагаемого (x^2) у нас \(a = 1\) и \(n = 2\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(1 \cdot 2x^{2-1} = 2x\).
Для второго слагаемого (3x) у нас \(a = 3\) и \(n = 1\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(3 \cdot 1x^{1-1} = 3\).
Для третьего слагаемого \(-\sqrt{2}\) у нас снова производная константы, что равно 0.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 2x + 3 - 0 = 2x + 3\).
4) Найти производную функции \(f(x) = x^3 - \sqrt{7x} + п\).
Применим те же правила:
\(f(x) = x^3 - \sqrt{7x} + п\)
Для первого слагаемого (x^3) у нас \(a = 1\) и \(n = 3\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(1 \cdot 3x^{3-1} = 3x^2\).
Для второго слагаемого \(-\sqrt{7x}\) мы применим правило для производной квадратного корня. Если \(g(x) = \sqrt{7x}\), то \(g"(x) = \frac{1}{2\sqrt{7x}}\). Учитывая это, производная этого слагаемого будет равна:
\(-\frac{1}{2\sqrt{7x}} \cdot 7\) (производная функции \(\sqrt{7x}\)) = \(-\frac{7}{2\sqrt{7x}}\).
Так как \(п\) является константой, его производная равна нулю.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 3x^2 - \frac{7}{2\sqrt{7x}} + 0 = 3x^2 - \frac{7}{2\sqrt{7x}}\).
5) Найти производную функции \(f(x) = 5x^{-4} + 2x - \sqrt{5}\).
Применим те же правила:
\(f(x) = 5x^{-4} + 2x - \sqrt{5}\)
Для первого слагаемого (5x^{-4}) у нас \(a = 5\) и \(n = -4\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(5 \cdot -4x^{-4-1} = -20x^{-5}\).
Для второго слагаемого (2x) у нас \(a = 2\) и \(n = 1\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(2 \cdot 1x^{1-1} = 2\).
Для третьего слагаемого \(-\sqrt{5}\) опять же мы имеем производную константы, что равно 0.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = -20x^{-5} + 2 - 0 = -20x^{-5} + 2\).
6) Найти производную функции \(f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3^{x^2}} - 7\).
Применим те же правила:
\(f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3^{x^2}} - 7\)
Для первого слагаемого (\(\frac{2}{5}x^5\)) у нас \(a = \frac{2}{5}\) и \(n = 5\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(\frac{2}{5} \cdot 5x^{5-1} = 2x^4\).
Для второго слагаемого \(-\sqrt{3^{x^2}}\) мы применим правило для производной квадратного корня. Если \(g(x) = \sqrt{3^{x^2}}\), то \(g"(x) = \frac{1}{2\sqrt{3^{x^2}}} \cdot \frac{d}{dx}(3^{x^2})\). Учитывая это, производная этого слагаемого представляет собой:
\(-\frac{1}{2\sqrt{3^{x^2}}} \cdot \frac{d}{dx}(3^{x^2})\).
Мы также должны вычислить производную \(3^{x^2}\). Если \(h(x) = 3^{x^2}\), то \(h"(x) = \ln(3) \cdot 2x \cdot 3^{x^2}\). Помните, что мы также должны учитывать производную внутренней функции, которая здесь является \(x^2\). Таким образом, производная \(3^{x^2}\) будет равна:
\(\ln(3) \cdot 2x \cdot 3^{x^2}\).
Теперь, если мы заменим эту производную обратно в исходное уравнение, получим:
\(-\frac{1}{2\sqrt{3^{x^2}}} \cdot \ln(3) \cdot 2x \cdot 3^{x^2}\).
Для третьего слагаемого \(-7\) производная константы равна 0.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 2x^4 - \frac{1}{2\sqrt{3^{x^2}}} \cdot \ln(3) \cdot 2x \cdot 3^{x^2} - 0 = 2x^4 - \frac{\ln(3)x\cdot 3^{x^2}}{\sqrt{3^{x^2}}}\).
Окончательный ответ:
1) \(f"(x) = 3\).
2) \(f"(x) = 3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{3x}}\).
3) \(f"(x) = 2x + 3\).
4) \(f"(x) = 3x^2 - \frac{7}{2\sqrt{7x}}\).
5) \(f"(x) = -20x^{-5} + 2\).
6) \(f"(x) = 2x^4 - \frac{\ln(3)x\cdot 3^{x^2}}{\sqrt{3^{x^2}}}\).
1) Найти производную функции \(f(x) = 3x - \sqrt{3}\).
Для начала, давайте вспомним некоторые правила вычисления производных.
Для функции вида \(f(x) = ax^n\), где \(a\) и \(n\) - константы, производная вычисляется следующим образом: производная функции равна произведению константы \(a\) на \(n\), и \(n\) уменьшается на единицу. То есть, если \(f(x) = ax^n\), то \(f"(x) = anx^{n-1}\).
Теперь применим это правило к задаче:
\(f(x) = 3x - \sqrt{3}\)
Для первого слагаемого (3x) у нас \(a = 3\) и \(n = 1\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(3 \cdot 1x^{1-1} = 3\).
Для второго слагаемого \(-\sqrt{3}\) важно знать, что производная от константы равна нулю. Поэтому производная этого слагаемого будет равна 0.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 3 - 0 = 3\).
2) Найти производную функции \(f(x) = x^3 - \sqrt{3x}\).
Применим те же самые правила, о которых я упомянул ранее:
\(f(x) = x^3 - \sqrt{3x}\)
Для первого слагаемого (x^3) у нас \(a = 1\) и \(n = 3\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(1 \cdot 3x^{3-1} = 3x^2\).
Для второго слагаемого \(-\sqrt{3x}\) мы применим правило для производной квадратного корня. Если \(g(x) = \sqrt{3x}\), то \(g"(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x}}\). Помните, что мы также должны учитывать производную внутренней функции, которая здесь является \(3x\). Таким образом, производная этого слагаемого будет равна:
\(-\frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot 3\) (производная функции \(\sqrt{3x}\)) = \(-\frac{3}{2\sqrt{3x}}\).
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{3x}}\).
3) Найти производную функции \(f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}\).
Применим те же правила:
\(f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}\)
Для первого слагаемого (x^2) у нас \(a = 1\) и \(n = 2\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(1 \cdot 2x^{2-1} = 2x\).
Для второго слагаемого (3x) у нас \(a = 3\) и \(n = 1\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(3 \cdot 1x^{1-1} = 3\).
Для третьего слагаемого \(-\sqrt{2}\) у нас снова производная константы, что равно 0.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 2x + 3 - 0 = 2x + 3\).
4) Найти производную функции \(f(x) = x^3 - \sqrt{7x} + п\).
Применим те же правила:
\(f(x) = x^3 - \sqrt{7x} + п\)
Для первого слагаемого (x^3) у нас \(a = 1\) и \(n = 3\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(1 \cdot 3x^{3-1} = 3x^2\).
Для второго слагаемого \(-\sqrt{7x}\) мы применим правило для производной квадратного корня. Если \(g(x) = \sqrt{7x}\), то \(g"(x) = \frac{1}{2\sqrt{7x}}\). Учитывая это, производная этого слагаемого будет равна:
\(-\frac{1}{2\sqrt{7x}} \cdot 7\) (производная функции \(\sqrt{7x}\)) = \(-\frac{7}{2\sqrt{7x}}\).
Так как \(п\) является константой, его производная равна нулю.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 3x^2 - \frac{7}{2\sqrt{7x}} + 0 = 3x^2 - \frac{7}{2\sqrt{7x}}\).
5) Найти производную функции \(f(x) = 5x^{-4} + 2x - \sqrt{5}\).
Применим те же правила:
\(f(x) = 5x^{-4} + 2x - \sqrt{5}\)
Для первого слагаемого (5x^{-4}) у нас \(a = 5\) и \(n = -4\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(5 \cdot -4x^{-4-1} = -20x^{-5}\).
Для второго слагаемого (2x) у нас \(a = 2\) и \(n = 1\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(2 \cdot 1x^{1-1} = 2\).
Для третьего слагаемого \(-\sqrt{5}\) опять же мы имеем производную константы, что равно 0.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = -20x^{-5} + 2 - 0 = -20x^{-5} + 2\).
6) Найти производную функции \(f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3^{x^2}} - 7\).
Применим те же правила:
\(f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3^{x^2}} - 7\)
Для первого слагаемого (\(\frac{2}{5}x^5\)) у нас \(a = \frac{2}{5}\) и \(n = 5\), поэтому производная этого слагаемого будет равна \(\frac{2}{5} \cdot 5x^{5-1} = 2x^4\).
Для второго слагаемого \(-\sqrt{3^{x^2}}\) мы применим правило для производной квадратного корня. Если \(g(x) = \sqrt{3^{x^2}}\), то \(g"(x) = \frac{1}{2\sqrt{3^{x^2}}} \cdot \frac{d}{dx}(3^{x^2})\). Учитывая это, производная этого слагаемого представляет собой:
\(-\frac{1}{2\sqrt{3^{x^2}}} \cdot \frac{d}{dx}(3^{x^2})\).
Мы также должны вычислить производную \(3^{x^2}\). Если \(h(x) = 3^{x^2}\), то \(h"(x) = \ln(3) \cdot 2x \cdot 3^{x^2}\). Помните, что мы также должны учитывать производную внутренней функции, которая здесь является \(x^2\). Таким образом, производная \(3^{x^2}\) будет равна:
\(\ln(3) \cdot 2x \cdot 3^{x^2}\).
Теперь, если мы заменим эту производную обратно в исходное уравнение, получим:
\(-\frac{1}{2\sqrt{3^{x^2}}} \cdot \ln(3) \cdot 2x \cdot 3^{x^2}\).
Для третьего слагаемого \(-7\) производная константы равна 0.
Итак, собираем все вместе: \(f"(x) = 2x^4 - \frac{1}{2\sqrt{3^{x^2}}} \cdot \ln(3) \cdot 2x \cdot 3^{x^2} - 0 = 2x^4 - \frac{\ln(3)x\cdot 3^{x^2}}{\sqrt{3^{x^2}}}\).
Окончательный ответ:
1) \(f"(x) = 3\).
2) \(f"(x) = 3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{3x}}\).
3) \(f"(x) = 2x + 3\).
4) \(f"(x) = 3x^2 - \frac{7}{2\sqrt{7x}}\).
5) \(f"(x) = -20x^{-5} + 2\).
6) \(f"(x) = 2x^4 - \frac{\ln(3)x\cdot 3^{x^2}}{\sqrt{3^{x^2}}}\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
