Искать угол β, образованный вектором полного ускорения а=0.9(см/с^2) и вектором мгновенной скорости v, когда

Итак, нам дана материальная точка, движущаяся по окружности радиусом \(r = 50 \, \text{см}\) со скоростью \(v\) и с тангенциальным ускорением \(a_\tau = 0.5 \, \text{см/с}^2\). Нам нужно найти угол \(\beta\) между вектором полного ускорения \(\vec{a} = 0.9 \, \text{см/с}^2\) и вектором мгновенной скорости \(\vec{v}\).

Начнем с определения связи между вектором полного ускорения и радиус-вектором. Вектор полного ускорения можно разделить на две составляющие: тангенциальную (\(a_\tau\)) и нормальную (\(a_n\)). В нашем случае, поскольку у нас постоянное тангенциальное ускорение \(a_\tau = 0.5 \, \text{см/с}^2\), то \(a_\tau\) будет являться модулем второй проекции радиус-вектора (\(r\)) на тангенциальное направление.

Таким образом, мы можем записать, что \(a_\tau = \left\lVert \frac{{d\vec{v}}}{{dt}} \right\rVert\), где \(\frac{{d\vec{v}}}{{dt}}\) - производная вектора скорости \(\vec{v}\) по времени \(t\). Мы знаем, что радиус-вектор \(\vec{r}\) может быть записан как \(\vec{r} = r \cdot \hat{e}_r\), где \(\hat{e}_r\) - единичный радиальный вектор, направленный вдоль радиуса окружности.

Используя эти определения и формулу для производной, мы можем записать:
\[\begin{aligned}
a_\tau &= \left\lVert \frac{{d\vec{v}}}{{dt}} \right\rVert \\
&= \left\lVert \frac{{d}}{{dt}} (v \cdot \hat{e}_r) \right\rVert \\
&= \left\lVert \frac{{dv}}{{dt}} \cdot \hat{e}_r \right\rVert \\
&= \left\lVert \frac{{dv}}{{dt}} \right\rVert \cdot \left\lVert \hat{e}_r \right\rVert \\
&= \left\lVert \frac{{dv}}{{dt}} \right\rVert \cdot 1
\end{aligned}\]

Теперь, поскольку у нас постоянное тангенциальное ускорение \(a_\tau = 0.5 \, \text{см/с}^2\), то мы можем записать:
\[\left\lVert \frac{{dv}}{{dt}} \right\rVert = a_\tau = 0.5 \, \text{см/с}^2\]

Разделив обе стороны на \(v\), мы получим:
\[\left\lVert \frac{{dv}}{{dt}} \right\rVert = \frac{{dv}}{{dt}}\frac{1}{v} = 0.5 \, \text{см/с}^2\]

Интегрируя это уравнение, мы получим:
\[\int \frac{{dv}}{{v}} = \int 0.5 \, dt\]

Решая эти интегралы, мы получим:
\[\ln v = 0.5t + C_1\]

где \(C_1\) - постоянная интегрирования. Возьмем экспоненту от обеих сторон:
\[v = e^{0.5t + C_1}\]

Используя начальное условие \(v(0) = 0\), мы можем найти \(C_1\). Поскольку \(v(0) = e^{0.5 \cdot 0 + C_1} = e^{C_1} = 0\), то \(C_1 = \ln 0 = -\infty\). Однако, это невозможно, поэтому наше начальное условие \(v(0) = 0\) не согласуется с постоянным тангенциальным ускорением \(a_\tau = 0.5 \, \text{см/с}^2\). Поэтому, наше задание имеет ошибку, и решение невозможно.

Мы не можем найти угол \(\beta\) без значения вектора мгновенной скорости \(v\) или времени \(t\). В нашем задании не хватает этой информации. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, уточните, и я смогу помочь вам найти угол \(\beta\).