Имеется: точка A(13 ; - 2), точка B(-3; - 6), точка C(4 ; 0). Найти: а) вектор AC; б) длину вектора BC; в) координаты

Давайте рассмотрим каждое из заданий по порядку.

а) Чтобы найти вектор AC, нужно вычислить разницу в координатах между точками A и C. Для этого вычтем из координат точки C координаты точки A:
$$\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A,y_C-y_A)$$

Для данной задачи, где точка A имеет координаты (13, -2), а точка C - (4, 0), вычислим разность в координатах:
$$\overrightarrow{AC}=(4-13,0-(-2))=(-9,2)$$

Ответ: Вектор AC имеет координаты (-9, 2).

б) Длина вектора BC вычисляется по формуле модуля вектора, используя его координаты:
$$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(x_C-x_B{)}^2+(y_C-y_B{)}^2}$$

Где точка B имеет координаты (-3, -6), а точка C - (4, 0). Подставим значения в формулу:
$$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(4-(-3){)}^2+(0-(-6){)}^2}=\sqrt{(4+3{)}^2+(0+6{)}^2}=\sqrt{7^2+6^2}=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}$$

Ответ: Длина вектора BC равна $\sqrt{85}$.

в) Чтобы найти координаты середины отрезка AB, нужно сложить соответствующие координаты точек A и B и разделить результат на 2:
$$(x_{mid},y_{mid})=(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$$

Для данной задачи, где точка A имеет координаты (13, -2), а точка B - (-3, -6), подставим значения в формулу:
$$x_{mid}=\frac{13+(-3)}{2}=\frac{10}{2}=5$$
$$y_{mid}=\frac{-2+(-6)}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$

Ответ: Координаты середины отрезка AB равны (5, -4).

г) Чтобы найти периметр треугольника ABC, нужно сложить длины всех трех сторон треугольника. В данном случае у нас есть стороны AB, BC и AC, длины которых мы уже нашли.

Периметр треугольника ABC равен сумме всех трех сторон:
$$P=AB+BC+AC$$

Для данной задачи, где $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{130}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{85}$, и $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{85}$, сложим эти значения:
$$P=\sqrt{130}+\sqrt{85}+\sqrt{85}$$

Ответ: Периметр треугольника ABC равен $\sqrt{130}+2\sqrt{85}$.

д) Длина медианы треугольника может быть найдена с использованием формулы медианы, которая учитывает длины сторон треугольника:
$$m=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$

Где a, b и c - длины сторон треугольника. В нашем случае, мы знаем длины сторон треугольника ABC из предыдущих заданий.

Для данной задачи, где $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{130}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{85}$, и $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{85}$, вычислим длину медианы:
$$m=\frac{1}{2}\sqrt{2(\sqrt{85}{)}^2+2(\sqrt{85}{)}^2-(\sqrt{130}{)}^2}$$

Ответ: Длина медианы треугольника ABC равна $\frac{1}{2}\sqrt{170}$.