Имеется: точка A(13 ; - 2), точка B(-3; - 6), точка C(4 ; 0). Найти: а) вектор AC; б) длину вектора BC; в) координаты

Давайте рассмотрим каждое из заданий по порядку.

а) Чтобы найти вектор AC, нужно вычислить разницу в координатах между точками A и C. Для этого вычтем из координат точки C координаты точки A:
\[\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)\]

Для данной задачи, где точка A имеет координаты (13, -2), а точка C - (4, 0), вычислим разность в координатах:
\[\overrightarrow{AC} = (4 - 13, 0 - (-2)) = (-9, 2)\]

Ответ: Вектор AC имеет координаты (-9, 2).

б) Длина вектора BC вычисляется по формуле модуля вектора, используя его координаты:
\[|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}}\]

Где точка B имеет координаты (-3, -6), а точка C - (4, 0). Подставим значения в формулу:
\[|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{{(4 - (-3))^2 + (0 - (-6))^2}} = \sqrt{{(4 + 3)^2 + (0 + 6)^2}} = \sqrt{{7^2 + 6^2}} = \sqrt{{49 + 36}} = \sqrt{{85}}\]

Ответ: Длина вектора BC равна \(\sqrt{{85}}\).

в) Чтобы найти координаты середины отрезка AB, нужно сложить соответствующие координаты точек A и B и разделить результат на 2:
\[(x_{mid}, y_{mid}) = \left(\frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2}\right)\]

Для данной задачи, где точка A имеет координаты (13, -2), а точка B - (-3, -6), подставим значения в формулу:
\[x_{mid} = \frac{{13 + (-3)}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\]
\[y_{mid} = \frac{{-2 + (-6)}}{2} = \frac{{-8}}{2} = -4\]

Ответ: Координаты середины отрезка AB равны (5, -4).

г) Чтобы найти периметр треугольника ABC, нужно сложить длины всех трех сторон треугольника. В данном случае у нас есть стороны AB, BC и AC, длины которых мы уже нашли.

Периметр треугольника ABC равен сумме всех трех сторон:
\[P = AB + BC + AC\]

Для данной задачи, где \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{{130}}\), \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{{85}}\), и \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{{85}}\), сложим эти значения:
\[P = \sqrt{{130}} + \sqrt{{85}} + \sqrt{{85}}\]

Ответ: Периметр треугольника ABC равен \(\sqrt{{130}} + 2\sqrt{{85}}\).

д) Длина медианы треугольника может быть найдена с использованием формулы медианы, которая учитывает длины сторон треугольника:
\[m = \frac{1}{2}\sqrt{{2b^2 + 2c^2 - a^2}}\]

Где a, b и c - длины сторон треугольника. В нашем случае, мы знаем длины сторон треугольника ABC из предыдущих заданий.

Для данной задачи, где \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{{130}}\), \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{{85}}\), и \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{{85}}\), вычислим длину медианы:
\[m = \frac{1}{2}\sqrt{{2(\sqrt{{85}})^2 + 2(\sqrt{{85}})^2 - (\sqrt{{130}})^2}}\]

Ответ: Длина медианы треугольника ABC равна \(\frac{1}{2}\sqrt{{170}}\).