Имеется прямоугольный параллелепипед A...D1, где отношение CK : KC1 равно 1:2. Периметр сечения ADK параллелепипеда

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о пропорциях и свойствах прямоугольных параллелепипедов.

Дано, что отношение CK : KC1 равно 1:2. Это означает, что CK составляет третью часть от всей длины отрезка CKC1, а KC1 составляет две трети от этой длины.

Построим сечение ADK параллелепипеда. Поскольку AD является основанием параллелепипеда, то его периметр равен 22. Периметр прямоугольника можно найти по формуле:
\[Периметр = 2(AD + AK)\]

Поскольку ADK - прямоугольник, его периметр равен сумме длин его сторон. Поэтому
\[2(AD + AK) = 22\]
(здесь AK - длина а, а AD - длина b).

Из получившегося уравнения можно выразить AD через AK:
\[AD = \frac{22}{2} - 2 \cdot AK = 11 - 2 \cdot AK\]

Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности параллелепипеда. Боковая поверхность параллелепипеда состоит из четырех прямоугольников, длина и ширина которых соответствуют сторонам параллелограмма ADKC. Площадь каждого прямоугольника можно найти по формуле площади прямоугольника:
\[Площадь = Длина \cdot Ширина\]

Ширина каждого прямоугольника равна боковой стороне параллелепипеда, то есть KC. А длина каждого прямоугольника равна его высоте, то есть AK. Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда будет равна:
\[2 \cdot AK \cdot KC + 2 \cdot AD \cdot AK\]

Подставим найденное значение AD и упростим выражение:
\[2 \cdot AK \cdot KC + 2 \cdot (11 - 2 \cdot AK) \cdot AK = 22 \cdot AK + 22 \cdot AK - 4 \cdot AK^2 = 44 \cdot AK - 4 \cdot AK^2\]

Полученное выражение является уравнением площади боковой поверхности параллелепипеда в зависимости от длины отрезка AK. Теперь мы можем решить это уравнение. Было бы неплохо иметь уравнение в квадратном виде, чтобы решить его с помощью понятий квадратных уравнений.

Перепишем наше уравнение в квадратной форме, выделив члены с AK:
\[-4 \cdot AK^2 + 44 \cdot AK = 0\]

Вынесем общий множитель:
\[-4 \cdot AK \cdot (AK - 11) = 0\]

Получили два возможных значения AK:
1) AK = 0
2) AK - 11 = 0, откуда AK = 11

Теперь проверим, какое из этих значений является допустимым для решения исходной задачи.

1) Если AK = 0, то площадь боковой поверхности параллелепипеда будет равна 0, что не имеет смысла. Значит, это решение недопустимо.

2) Если AK = 11, то подставим это значение обратно в исходное выражение:
\[44 \cdot AK - 4 \cdot AK^2 = 44 \cdot 11 - 4 \cdot 11^2 = 44 \cdot 11 - 4 \cdot 121 = 484 - 484 = 0\]

Получили, что площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 0.

Таким образом, в данной задаче площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 0.