Игорь поделил загаданное число на 4, затем разделил его на 6 и последнее разделение произвел на 8. Во всех случаях

Давайте решим эту задачу пошагово.

Игорь поделил загаданное число на 4 и получил остаток $x_1$. Затем он разделил это число на 6 и получил остаток $x_2$. И, наконец, он разделил это число на 8 и получил остаток $x_3$.

Мы знаем, что сумма остатков составляет 15. То есть,
$$x_1+x_2+x_3=15.$$

Давайте предположим, что загаданное число равно $N$. Тогда мы можем записать следующие уравнения:

$N\equiv x_1(\mathrm{mod}4)$
$N\equiv x_2(\mathrm{mod}6)$
$N\equiv x_3(\mathrm{mod}8)$

Теперь нам нужно найти остаток, который остается, когда число $N$ делится на 24 (так как 4, 6 и 8 являются взаимно простыми числами, и их произведение равно 24).

Используя Теорему Китайского остатках (Chinese Remainder Theorem), мы можем решить эту систему уравнений. Давайте найдем значения $N$ и $x$.

Рассмотрим уравнение $N\equiv x_1(\mathrm{mod}4)$. Так как 4 делится на 24, то сравнение можно переписать в виде $N\equiv x_1(\mathrm{mod}24)$.

Аналогично, уравнение $N\equiv x_2(\mathrm{mod}6)$ можно переписать в виде $N\equiv x_2(\mathrm{mod}24)$, и уравнение $N\equiv x_3(\mathrm{mod}8)$ можно переписать в виде $N\equiv x_3(\mathrm{mod}24)$.

Теперь у нас есть система уравнений:
$$\begin{array}{rl}N& \equiv x_1(\mathrm{mod}24)\\ N& \equiv x_2(\mathrm{mod}24)\\ N& \equiv x_3(\mathrm{mod}24)\end{array}$$

Решая эту систему, мы получаем значения $N$ и $x$:

$$N\equiv (\frac{x_1\cdot 6\cdot 8\cdot (6\cdot 8{)}^{-1}}{4}+\frac{x_2\cdot 4\cdot 8\cdot (4\cdot 8{)}^{-1}}{6}+\frac{x_3\cdot 4\cdot 6\cdot (4\cdot 6{)}^{-1}}{8})(\mathrm{mod}24)$$

где $(6\cdot 8{)}^{-1}$ обратный элемент для $6\cdot 8$ по модулю 4, $(4\cdot 8{)}^{-1}$ обратный элемент для $4\cdot 8$ по модулю 6, и $(4\cdot 6{)}^{-1}$ обратный элемент для $4\cdot 6$ по модулю 8.

Теперь мы можем вставить значения $x_1+x_2+x_3=15$ и вычислить значение остатка при делении на 24, чтобы найти искомый остаток.

Примечание: Для конкретного решения мы должны знать значения $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Если они не даны, мы не можем найти однозначный ответ и можем только полагаться на вероятностные утверждения.

Пожалуйста, уточните значения $x_1$, $x_2$ и $x_3$, если они имеются, чтобы я мог найти конкретный ответ.