How is the rope wound on the homogenous cylinder attached to the inclined plane?

Когда сказано, что веревка обернута вокруг гомогенного цилиндра, подразумевается, что на цилиндре нет никакой трения между веревкой и его поверхностью. В этом случае, мы можем применить закон сохранения энергии, чтобы определить силу натяжения веревки.

Пусть \(m\) - масса груза, подвешенного к концу веревки, \(R\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота предмета над линией отсчета на наклонной плоскости, а \(d\) - расстояние, на которое веревка обернулась вокруг цилиндра.

Для начала, определим работу силы гравитации при перемещении груза на высоту \(h\). Работа равна произведению силы гравитации на высоту:
\[A = mgh\]

Затем, определим работу, совершенную силой натяжения веревки при ее перемещении на расстояние \(d\). Для этого необходимо учесть, что сила натяжения веревки направлена вдоль касательной к поверхности цилиндра в точке контакта с веревкой. Таким образом, работа равна произведению силы натяжения на расстояние:
\[A = Td\]

Поскольку на цилиндр не действуют силы трения, механическая энергия системы (груз-цилиндр-веревка) сохраняется. Следовательно, сумма работ, совершаемых всеми силами, равна нулю:
\[A_{\text{{грав}}} + A_{\text{{нат}}} = 0\]

Теперь мы можем выразить силу натяжения через массу груза и высоту:
\[mgd = Td\]

Таким образом, сила натяжения веревки равна:
\[T = mg\]

Это означает, что сила натяжения веревки не зависит от радиуса цилиндра или высоты наклонной плоскости. Она определяется только массой груза и ускорением свободного падения (\(g\)).