Геометрия. Призма и параллелепипед. Решите две задачи: 1) В правильной призме A...D1, угол C1DC равен 60°, площадь

Решение:

1) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для площади полной поверхности правильной призмы. Общая формула выглядит следующим образом:

\[S = 2Ph + 2B,\]

где \(S\) - площадь полной поверхности, \(P\) - периметр основания призмы, \(h\) - высота призмы, \(B\) - площадь основания призмы.

У нас есть информация, что площадь полной поверхности равна 128(2√3+1) и угол C1DC равен 60°. Так как угол C1DC равен 60°, то угол C1AD также равен 60°, потому что они являются смежными углами.

Правильная призма состоит из двух равных правильных треугольников и трех прямоугольных треугольников. Площадь основания \(B\) равна площади одного правильного треугольника, так как у всех треугольников основания равны.

Используя формулу для площади треугольника \(B = \frac{{a \cdot h}}{2}\), где \(a\) - длина стороны треугольника, \(h\) - высота треугольника, можем выразить высоту через длину стороны:

\[h = \frac{{2B}}{a}.\]

Так как угол C1AD равен 60°, мы знаем, что треугольник ACD является равносторонним треугольником, а значит, все его стороны равны. Поэтому мы можем записать:

\[AD = AC = CD = a.\]

Теперь мы можем подставить \(AD\) и \(h\) в формулу для площади основания:

\[B = \frac{{a \cdot \frac{{2B}}{a}}}{2}.\]

После сокращения \(a\) и упрощения получаем:

\[B = \frac{{2B}}{2} \Rightarrow B = B.\]

Полученное равенство верно для любого значения площади основания \(B\). Это означает, что величина \(B\) может быть любой.

Теперь мы можем подставить значения площади полной поверхности и площади основания в формулу для площади полной поверхности призмы:

\[128(2√3 + 1) = 2Pa + 2B.\]

Как мы уже заметили, \(B\) может быть любым, поэтому мы можем выбрать его равным 1 для удобства вычислений:

\[128(2√3 + 1) = 2Pa + 2.\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(P\). Раскроем скобки:

\[256√3 + 128 = 2Pa + 2.\]

Упростим:

\[2Pa = 256√3 + 126.\]

Делим обе части уравнения на 2P:

\[a = \frac{{256√3 + 128}}{2P}.\]

Теперь мы можем заметить, что у нас есть выражение для \(h\) в терминах \(a\):

\[h = \frac{{2B}}{a} = \frac{{2 \cdot 1}}{a} = \frac{2}{a}.\]

Остается записать формулу для периметра основания:

\[P = 4a.\]

Заменяем выражения для \(a\) и \(h\) в формуле для площади полной поверхности:

\[128(2√3+1) = 2 \cdot 4a \cdot \frac{2}{a} + 2.\]

Упрощаем:

\[128(2√3+1) = 16 + 2.\]

\[128(2√3+1) = 18.\]

Делим обе части уравнения на 128:

\[2√3+1 = \frac{9}{64}.\]

Вычитаем 1 из обеих частей уравнения:

\[2√3 = \frac{9}{64} - 1.\]

\[2√3 = -\frac{55}{64}.\]

Деля обе части уравнения на 2:

\[\sqrt{3} = -\frac{55}{128}.\]

Получается, что мы получили нелогичный ответ, так как квадратный корень из положительного числа не может быть отрицательным. Возможно, в условии задачи есть ошибка или упущение.

2) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда:

\[S_{\text{бок}} = 2(ab + bc + ac),\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон параллелепипеда.

У нас уже есть значения длин сторон параллелепипеда: \(AB = 6\), \(AD = 8\), \(AC = 12\) и \(DB_1 = 9\). Заметим, что в параллелепипеде ABDC передняя и задняя грани параллельны и равны по площади, а также боковые грани трапеции. Поэтому, чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно найти площадь поверхности одной трапеции и умножить ее на 2.

Площадь поверхности трапеции можно найти по формуле:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2}h(a + b),\]

где \(S_{\text{тр}}\) - площадь поверхности трапеции, \(h\) - высота трапеции, \(a\), \(b\) - длины оснований трапеции.

Мы знаем, что основания трапеции равны сторонам AB и DC параллелепипеда, а высота трапеции равна AD. Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (6 + 9) = 4 \cdot 15 = 60.\]

Теперь у нас есть площадь поверхности одной трапеции. Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, умножим ее на 2:

\[S_{\text{бок}} = 2 \cdot 60 = 120.\]

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 120.

Я надеюсь, что это подробное пошаговое решение помогло вам понять решение данных задач по геометрии! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.