Где можно найти точку минимума функции y=x^3+5x^2+7x+22?

Итак, чтобы найти точку минимума функции \(y = x^3 + 5x^2 + 7x + 22\), мы должны проанализировать график функции и найти точку, в которой функция достигает наименьшего значения.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Дифференцируя каждый член функции по отдельности, получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 + 10x + 7
\]

Шаг 2: Равенство нулю этой производной, \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\), позволит нам найти критические точки функции \(y\). Решим это уравнение:

\[
3x^2 + 10x + 7 = 0
\]

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена или путем факторизации. Применим квадратное уравнение:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

где \(a = 3\), \(b = 10\) и \(c = 7\).

Подставляя значения, получим:

\[
x = \frac{{-10 \pm \sqrt{{10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}}}{{2 \cdot 3}}
\]

\[
x = \frac{{-10 \pm \sqrt{{100 - 84}}}}{{6}}
\]

\[
x = \frac{{-10 \pm \sqrt{{16}}}}{{6}}
\]

\[
x = \frac{{-10 \pm 4}}{{6}}
\]

Таким образом, мы получаем два значения \(x\):

\[
x_1 = \frac{{-10 + 4}}{{6}} = \frac{{-6}}{{6}} = -1
\]

\[
x_2 = \frac{{-10 - 4}}{{6}} = \frac{{-14}}{{6}} = -\frac{{7}}{{3}}
\]

Шаг 3: Для определения, является ли каждая из этих точек минимумом или максимумом, мы должны выполнить вторую производную тестирование. Возьмем вторую производную функции \(y\):

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 6x + 10
\]

Подставим значения \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -\frac{{7}}{{3}}\) в \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}}\):

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} \bigg|_{x=-1} = 6(-1) + 10 = 4
\]

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} \bigg|_{x=-\frac{{7}}{{3}}} = 6\left(-\frac{{7}}{{3}}\right) + 10 = -2
\]

Шаг 4: Найдем значение функции \(y\) в найденных точках:

\[
y \bigg|_{x=-1} = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 22 = 17
\]

\[
y \bigg|_{x=-\frac{{7}}{{3}}} = \left(-\frac{{7}}{{3}}\right)^3 + 5\left(-\frac{{7}}{{3}}\right)^2 + 7\left(-\frac{{7}}{{3}}\right) + 22 = \frac{{110}}{{27}}
\]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \((-1, 17)\) и \(\left(-\frac{{7}}{{3}}, \frac{{110}}{{27}}\right)\). Чтобы определить, точка является минимумом или максимумом, рассмотрим значения второй производной в этих точках.

Критическая точка \((-1, 17)\) имеет положительное значение второй производной (\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} > 0\)), поэтому функция имеет минимум в этой точке.

Критическая точка \(\left(-\frac{{7}}{{3}}, \frac{{110}}{{27}}\right)\) имеет отрицательное значение второй производной (\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} < 0\)), поэтому функция имеет максимум в этой точке.

Итак, минимум функции \(y = x^3 + 5x^2 + 7x + 22\) равен \((-1, 17)\).