г) Ответьте, какой будет остаток от деления наименьшего из возможных натуральных чисел n на 25, если остаток от деления

Давайте решим данную задачу.

Нам даны три условия:
1. Остаток от деления числа n на 17 равен 8.
2. Остаток от деления числа n на 13 равен 7.
3. Необходимо найти остаток от деления числа n на 25.

Для начала, найдем число n, удовлетворяющее условию 1. Мы знаем, что остаток от деления n на 17 равен 8. То есть, мы можем записать это в виде уравнения:

\[ n \equiv 8 \pmod{17} \]

Теперь решим уравнение для остатка от деления n на 13. Получаем:

\[ n \equiv 7 \pmod{13} \]

Объединим оба уравнения и найдем общее решение. Для этого воспользуемся китайской теоремой об остатках.

\[ n \equiv a_1 \pmod{m_1} \]
\[ n \equiv a_2 \pmod{m_2} \]

Если m1 и m2 взаимно просты (т.е. не имеют общих делителей), то система имеет единственное решение по модулю m1 * m2.

В нашем случае m1 = 17, m2 = 13, a1 = 8 и a2 = 7. Проверим, являются ли числа 17 и 13 взаимно простыми:

Находим наибольший общий делитель (НОД) чисел 17 и 13:
\(\text{НОД}(17, 13) = 1\)

Таким образом, мы можем применить китайскую теорему об остатках и найти общее решение.

Запишем систему уравнений:

\[ n \equiv 8 \pmod{17} \]
\[ n \equiv 7 \pmod{13} \]

Решая эту систему, получаем:

\[ n \equiv 123 \pmod{221} \]

Теперь, используя это решение, найдем остаток от деления числа n на 25:

\[ n \equiv 123 \pmod{221} \]

Мы хотим найти остаток от деления на 25, поэтому применим полученное решение:

\[ n \equiv 123 \pmod{221} \]

Разделим 221 на 25 и найдем остаток:

\[ 221 \mod 25 = 21 \]

Итак, ответ на задачу - остаток от деления наименьшего из возможных натуральных чисел n на 25 будет равен 21.