Есть треугольник MNK, углы M равен 14°, угол K равен 16°, и сторона MK равна 5. Каков радиус окружности, описанной

Итак, нам дан треугольник MNK, в котором угол M равен 14°, угол K равен 16°, а сторона MK равна 5. Наша задача состоит в определении радиуса окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Для решения этой задачи мы можем использовать закон синусов и описанную окружность треугольника.

Закон синусов гласит:
$$\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

Где a, b и c - это длины сторон треугольника, а A, B и C - соответствующие им противолежащие углы.

Теперь, чтобы найти радиус (R) описанной окружности, мы можем использовать следующую формулу:
$$R=\frac{abc}{4S}$$

Где S - это площадь треугольника, а a, b и c - длины его сторон.

Сначала найдем третий угол треугольника, используя свойство суммы углов треугольника. Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти угол N:

N = 180° - M - K

N = 180° - 14° - 16°

N = 150°

Теперь, используя закон синусов, мы можем найти длины остальных двух сторон треугольника. Пусть сторона NK = a, сторона MK = b и сторона MN = c.

Используя закон синусов, мы можем записать следующие соотношения:
$$\frac{c}{\sin (M)}=\frac{b}{\sin (N)}$$
$$\frac{a}{\sin (K)}=\frac{b}{\sin (N)}$$
$$\frac{c}{\sin (M)}=\frac{a}{\sin (K)}$$

Теперь давайте решим систему уравнений, чтобы найти длины сторон треугольника. Подставим известные значения углов и стороны MK:

$$\frac{c}{\sin (14°)}=\frac{5}{\sin (150°)}$$
$$\frac{a}{\sin (16°)}=\frac{5}{\sin (150°)}$$
$$\frac{c}{\sin (14°)}=\frac{a}{\sin (16°)}$$

Теперь найдем значения сторон a и c, используя данные уравнения. Решив систему уравнений, мы получим:

c ≈ 1.39
a ≈ 1.50

Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, используя формулу:

$$R=\frac{abc}{4S}$$

Где S - это площадь треугольника, которую мы можем найти, используя формулу Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где p - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив на 2:

p = (a + b + c) / 2

Вычислим полупериметр треугольника и площадь:

p = (1.39 + 1.50 + 5) / 2 ≈ 3.94

S = $\sqrt{3.94\cdot (3.94-1.39)\cdot (3.94-1.50)\cdot (3.94-5)}$ ≈ 2.50

Теперь рассчитаем радиус:

R = $\frac{1.39\cdot 1.50\cdot 5}{4\cdot 2.50}$ ≈ 1.68

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг данного треугольника, примерно равен 1.68.