Если знаменатель геометрической прогрессии равен 3 и разность между шестым и вторым членами равна 480, то какова сумма

Для решения этой задачи нам необходимо найти первый член геометрической прогрессии и затем найти сумму первых шести членов.

Шестой член геометрической прогрессии может быть найден с помощью формулы \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\), где \(a_n\) - это n-ый член геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый член геометрической прогрессии, \(r\) - знаменатель геометрической прогрессии, а \(n\) - порядковый номер члена.

В данной задаче нам известно, что знаменатель геометрической прогрессии равен 3, то есть \(r = 3\). Мы также знаем, что разность между шестым и вторым членами равна 480, то есть \(a_6 - a_2 = 480\).

Давайте найдем первый член геометрической прогрессии. Подставим известные значения в формулу для разности:
\[a_6 - a_2 = a_1 \cdot r^5 - a_1 \cdot r^1 = a_1 \cdot (r^5 - r)\]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить:
\[a_1 \cdot (r^5 - r) = 480\]

Подставим значение для \(r = 3\):
\[a_1 \cdot (3^5 - 3) = 480\]
\[a_1 \cdot (243 - 3) = 480\]
\[a_1 \cdot 240 = 480\]

Разделим обе части уравнения на 240, чтобы найти значение первого члена:
\[a_1 = \frac{480}{240} = 2\]

Теперь мы знаем, что первый член геометрической прогрессии равен 2. Мы также знаем знаменатель \(r = 3\).

Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}\]

Подставим известные значения:
\[S_6 = \frac{2 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1}\]
\[S_6 = \frac{2 \cdot (729 - 1)}{2}\]
\[S_6 = \frac{2 \cdot 728}{2}\]
\[S_6 = 2 \cdot 364\]
\[S_6 = 728\]

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна 728.