Если X, Y, Z являются случайными величинами, где X представляет собой выручку фирмы, Y - ее затраты, а Z = X

Для того чтобы определить, как распределена случайная величина Z, при условии независимости затрат и выручки, и заданных распределениях, нужно знать распределения самих X и Y.

Давайте предположим, что случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием (средним значением) \(\mu_X\) и стандартным отклонением \(\sigma_X\). То есть мы можем записать X как \(X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)\).

Аналогично, предположим, что случайная величина Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием \(\mu_Y\) и стандартным отклонением \(\sigma_Y\). То есть мы можем записать Y как \(Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)\).

Прибыль Z определяется как разность выручки и затрат: \(Z = X - Y\). Поскольку X и Y являются независимыми случайными величинами, мы можем использовать свойства нормального распределения для определения распределения Z.

Распределение разности независимых нормально распределенных случайных величин также является нормальным. Математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий исходных величин, а дисперсия разности равна сумме исходных дисперсий. Используя эти свойства, мы можем записать Z как \(Z \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2)\).

Таким образом, случайная величина Z при условии независимости затрат и выручки и заданных распределениях имеет нормальное распределение с математическим ожиданием \(\mu_X - \mu_Y\) и дисперсией \(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2\).