— Если в треугольнике ABC точки M, N и K являются серединами сторон AB, BC и AC соответственно, тогда найдите площадь

Для решения этой задачи воспользуемся тем фактом, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине его длины.

Известно, что сторона AB равна 10, а сторона BC равна 13. Найдем длину стороны AC с использованием теоремы Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 13^2} = \sqrt{169 + 100} = \sqrt{269}.\]

Теперь найдем середины сторон треугольника AB, BC и AC. По определению, середина отрезка — это точка, расположенная на равном расстоянии от его концов.

Середина стороны AB будет иметь координаты \((\frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2})\), где \(A_x, A_y\) - координаты точки A, а \(B_x, B_y\) - координаты точки B. Аналогично, для середин сторон BC и AC.

Рассмотрим середину стороны AB. Пусть A имеет координаты \((0,0)\), а B имеет координаты \((10,0)\). Тогда середина стороны AB будет иметь координаты \((\frac{0 + 10}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (5, 0)\). Обозначим эту точку как M.

Аналогичным образом находим точки N и K. Используя полученные координаты, находим стороны MN, NK и KM треугольника MNK.

MN имеет координаты \((5, 0)\) и \((\frac{10 + 5}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (7.5, 0)\), NK имеет координаты \((\frac{10 + 7.5}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (8.75, 0)\), KM имеет координаты \((\frac{10 + 5}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (7.5, 0)\).

Теперь найдем длины сторон MN, NK и KM с использованием формулы расстояния между двумя точками:

\[MN = \sqrt{(7.5 - 5)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2.5^2} = 2.5,\]
\[NK = \sqrt{(8.75 - 7.5)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1.25^2} = 1.25,\]
\[KM = \sqrt{(7.5 - 5)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2.5^2} = 2.5.\]

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон треугольника MNK, можем воспользоваться формулой Герона для вычисления площади треугольника:

\[S = \sqrt{p(p - MN)(p - NK)(p - KM)},\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, равный сумме длин его сторон, деленной на 2:

\[p = \frac{MN + NK + KM}{2} = \frac{2.5 + 1.25 + 2.5}{2} = \frac{6.25}{2} = 3.125.\]

Теперь можем подставить значения сторон и полупериметра в формулу площади:

\[S = \sqrt{3.125(3.125 - 2.5)(3.125 - 1.25)(3.125 - 2.5)} = \sqrt{3.125 \cdot 0.625 \cdot 1.875 \cdot 0.625} = \sqrt{0.857421875} \approx 0.93.\]

Таким образом, площадь треугольника MNK около 0.93 square units.