Если в треугольнике ABC прямая AD проведена таким образом, что углы BAD и BCA равны друг другу, то каковы значения

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство равновеликих треугольников.

Из условия задачи известно, что углы BAD и BCA равны друг другу. Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ABD и ABC равновелики по стороне AB, так как у них одна сторона и один угол равны.

Теперь, применим это свойство для нахождения значений DB и DC.

Пусть DB = x см и DC = y см.

Так как треугольники ABD и ABC равновелики, то соответственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Используем теорему синусов в треугольнике ABD:

\[\frac{AB}{\sin \angle BAD} = \frac{DB}{\sin \angle ADB}\]

Теперь, заменим известные значения и найдем значение DB:

\[\frac{2}{\sin \angle BAD} = \frac{x}{\sin \angle ADB}\]

Угол BAD равен углу BCA. Таким образом,

\[\frac{2}{\sin \angle BCA} = \frac{x}{\sin \angle ADB}\]

Так как синус угла BCA равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе, а гипотенузой является AB (2 см), получим:

\[\frac{2}{\frac{BC}{AB}} = \frac{x}{\sin \angle ADB}\]

Упростив, получим:

\[\frac{2}{\frac{BC}{2}} = \frac{x}{\sin \angle ADB}\]

\[\frac{4}{BC} = \frac{x}{\sin \angle ADB}\]

Аналогично, применим теорему синусов к треугольнику ADC:

\[\frac{AC}{\sin \angle ACD} = \frac{DC}{\sin \angle ADC}\]

Заменяем известные значения и находим значение DC:

\[\frac{BC}{\sin \angle ACD} = \frac{y}{\sin \angle ADC}\]

Угол ACD также равен углу BCA. Поэтому,

\[\frac{BC}{\sin \angle BCA} = \frac{y}{\sin \angle ADC}\]

Подставляем значение синуса угла BCA:

\[\frac{BC}{\frac{BC}{2}} = \frac{y}{\sin \angle ADC}\]

\[\frac{2}{\frac{BC}{2}} = \frac{y}{\sin \angle ADC}\]

\[\frac{4}{BC} = \frac{y}{\sin \angle ADC}\]

Мы получили два уравнения:

\[\frac{4}{BC} = \frac{x}{\sin \angle ADB}\]

\[\frac{4}{BC} = \frac{y}{\sin \angle ADC}\]

Так как эти уравнения равны друг другу, получаем:

\[\frac{x}{\sin \angle ADB} = \frac{y}{\sin \angle ADC}\]

Мы знаем, что углы BCA и ADB равны, и углы ADB и ADC равны, поэтому:

\[\frac{x}{\sin \angle BCA} = \frac{y}{\sin \angle BCA}\]

Сокращаем общий множитель sin(BCA) и получаем:

\[x = y\]

Таким образом, значение DB равно значению DC, то есть DB = DC.

Ответ: Значения DB и DC равны друг другу.