Если в треугольнике ABC BC=5 и AC=3, а sin угла ABC=2/5, то каково значение sin угла BAC?

Чтобы найти значение sin угла BAC, нам понадобится применить определение синуса и использовать уже имеющуюся информацию о треугольнике ABC. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть стороны треугольника BC и AC, а также значение sin угла ABC.

Шаг 2: Мы можем найти значение стороны AB с использованием теоремы косинусов. По теореме косинусов, для треугольника ABC выполняется следующее соотношение:
\[AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Подставляя известные значения, мы получаем:
\[AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(\angle ABC)\]

Шаг 3: Теперь нам нужно найти значение \(\cos(\angle ABC)\). Мы знаем, что \(\sin(\angle ABC) = \frac{2}{5}\), но чтобы найти \(\cos(\angle ABC)\), нам нужно использовать другое тригонометрическое соотношение:

\[\sin^2(\angle ABC) + \cos^2(\angle ABC) = 1\]

Мы знаем значение \(\sin(\angle ABC)\), поэтому можем найти \(\cos(\angle ABC)\) путем подстановки и решения уравнения:
\[\left(\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2(\angle ABC) = 1\]

Решим это уравнение:
\[\frac{4}{25} + \cos^2(\angle ABC) = 1\]
\[\cos^2(\angle ABC) = 1 - \frac{4}{25}\]
\[\cos(\angle ABC) = \sqrt{\frac{21}{25}}\]
\[\cos(\angle ABC) = \frac{\sqrt{21}}{5}\]

Шаг 4: Теперь мы можем вернуться к формуле для нахождения стороны AB и выполняем подстановку значения \(\cos(\angle ABC)\) для вычисления \(AB\):
\[AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5}\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:
\[AB^2 = 25 + 9 - 6 \sqrt{21}\]
\[AB^2 = 34 - 6 \sqrt{21}\]
\[AB = \sqrt{34 - 6 \sqrt{21}}\]

Шаг 5: Теперь мы можем найти значение sin угла BAC, используя определение синуса для треугольника ABC:
\[\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{\sqrt{34 - 6 \sqrt{21}}}\]

Итак, значение sin угла BAC равно \(\frac{5}{\sqrt{34 - 6 \sqrt{21}}}\). Не забудьте упростить или округлить ответ при необходимости.