Если угол LKN острый, точка P лежит между точками K и N, точка M - между точками K и L, KL = KN, и угол KLM равен углу

Из условия нам дано, что угол LKN является острым, точка P лежит между точками K и N, точка M - между точками K и L, а также KL = KN. Из этих данных мы можем вывести доказательство равенства треугольников KLM и KNP.

1. Рассмотрим следующие факты и свойства треугольников:
- Треугольник KLM имеет общую сторону KL с треугольником KNP.
- Угол KLM равен углу KNP (по условию).
- Угол LKM равен углу NKP (как вертикальные углы).
- Сторона KL равна стороне KN (по условию).
- Точка P лежит между точками K и N.

2. Из данных фактов и свойств следует, что треугольники KLM и KNP удовлетворяют условиям задачи для равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними:

- Сторона KL равна стороне KN.
- Сторона KM общая для обоих треугольников.
- Угол KLM равен углу KNP.

3. Следовательно, по свойству "Угол-сторона-угол" (У-С-У) треугольников, теореме, которая утверждает, что если два треугольника имеют равные две стороны и равный угол между ними, то эти треугольники равны, мы можем заключить, что треугольники KLM и KNP равны.

Теперь рассмотрим длину стороны PN.

4. Из условия задачи мы знаем, что сторона ML равна \(MP + PL + LN\).

5. Так как KL = KN, то мы можем заменить LN на LP: \(ML = MP + PL + LP\).

6. Также из условия задачи известно, что сторона KL равна KN, и так как KN = KP + PL, то мы можем заменить KL на KP + PL: \(MP + PL + LP = KP + PL\).

7. Вычитаем PL с обеих сторон уравнения: \(MP + LP = KP\).

8. Учитывая, что точка P находится между точками K и N, и длина стороны KP равна MP + PL, то длина стороны PN равна MP + PL.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что длина стороны PN равна MP + PL.