Если углы при основании треугольника равны 60° и 45°, то какова площадь треугольника, если длина меньшей из боковых

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой для площади треугольника:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\]

В данном случае, нам неизвестны ни основание, ни высота треугольника. Однако, мы можем воспользоваться знаниями об углах треугольника и правилах геометрии, чтобы найти эти значения.

Углы при основании треугольника равны 60° и 45°. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому третий угол треугольника можно найти, вычтя сумму уже известных углов из 180°:

\[(60° + 45°) = 105°\]
\[180° - 105° = 75°\]

Теперь у нас есть все три угла треугольника: 60°, 45° и 75°.

Так как у нас нет информации о боковых сторонах треугольника, мы не можем применить прямые формулы. Однако, мы можем воспользоваться теоремой синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)} = \frac{c}{sin(C)}\]

где \(a, b, c\) - длины сторон треугольника, \(A, B, C\) - соответствующие углы против этих сторон.

В нашем случае, давайте обозначим меньшую из боковых сторон как \(a\).

Так как у нас есть два угла треугольника и известна длина одной из сторон, мы можем воспользоваться теоремой синусов для нахождения длин остальных сторон.

\[\frac{a}{sin(45°)} = \frac{c}{sin(60°)}\]

Теперь нам нужно найти длину оставшейся стороны \(c\). Для этого давайте перенесем все известные значения в одну сторону и решим уравнение относительно \(c\):

\[c = a \times \frac{sin(60°)}{sin(45°)}\]

Данный результат является длиной основания треугольника.

Теперь можно рассчитать площадь треугольника, используя формулу, которую мы обсудили в начале данного ответа:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\]

Однако, у нас до сих пор нет информации о высоте треугольника. Чтобы найти ее, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника. Один из этих треугольников будет прямоугольным и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения его высоты.

Давайте обозначим это прямоугольный треугольник как \(ABC\), где \(AB\) - основание, \(AC\) - высота, \(BC\) - гипотенуза. Так как \(ABC\) является прямоугольным треугольником, мы можем применить теорему Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 - BC^2\]

Мы уже вычислили длину основания треугольника, она равна \(c\), и мы знаем, что \(BC\) - сторона треугольника, длина которой равна \(a\). Подставим известные значения в уравнение:

\[AC^2 = c^2 - a^2\]

Теперь мы можем найти значение высоты треугольника \(AC\), извлекая квадратный корень:

\[AC = \sqrt{c^2 - a^2}\]

Теперь у нас есть как основание, так и высота треугольника, и мы можем рассчитать его площадь, используя формулу:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\]

Подставим известные значения:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times c \times \sqrt{c^2 - a^2}\]

Это и есть ответ на задачу. Вы можете проверить свои вычисления, подставив известные значения и получив численный результат.