Если углы при основании треугольника равны 60° и 45°, то какова площадь треугольника, если длина меньшей из боковых

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой для площади треугольника:

$$Площадь=\frac{1}{2}\times основание\times высота$$

В данном случае, нам неизвестны ни основание, ни высота треугольника. Однако, мы можем воспользоваться знаниями об углах треугольника и правилах геометрии, чтобы найти эти значения.

Углы при основании треугольника равны 60° и 45°. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому третий угол треугольника можно найти, вычтя сумму уже известных углов из 180°:

$$(60°+45°)=105°$$
$$180°-105°=75°$$

Теперь у нас есть все три угла треугольника: 60°, 45° и 75°.

Так как у нас нет информации о боковых сторонах треугольника, мы не можем применить прямые формулы. Однако, мы можем воспользоваться теоремой синусов, которая гласит:

$$\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{sin(B)}=\frac{c}{sin(C)}$$

где $a,b,c$ - длины сторон треугольника, $A,B,C$ - соответствующие углы против этих сторон.

В нашем случае, давайте обозначим меньшую из боковых сторон как $a$.

Так как у нас есть два угла треугольника и известна длина одной из сторон, мы можем воспользоваться теоремой синусов для нахождения длин остальных сторон.

$$\frac{a}{sin(45°)}=\frac{c}{sin(60°)}$$

Теперь нам нужно найти длину оставшейся стороны $c$. Для этого давайте перенесем все известные значения в одну сторону и решим уравнение относительно $c$:

$$c=a\times \frac{sin(60°)}{sin(45°)}$$

Данный результат является длиной основания треугольника.

Теперь можно рассчитать площадь треугольника, используя формулу, которую мы обсудили в начале данного ответа:

$$Площадь=\frac{1}{2}\times основание\times высота$$

Однако, у нас до сих пор нет информации о высоте треугольника. Чтобы найти ее, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника. Один из этих треугольников будет прямоугольным и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения его высоты.

Давайте обозначим это прямоугольный треугольник как $ABC$, где $AB$ - основание, $AC$ - высота, $BC$ - гипотенуза. Так как $ABC$ является прямоугольным треугольником, мы можем применить теорему Пифагора:

$$A{C}^2=A{B}^2-B{C}^2$$

Мы уже вычислили длину основания треугольника, она равна $c$, и мы знаем, что $BC$ - сторона треугольника, длина которой равна $a$. Подставим известные значения в уравнение:

$$A{C}^2=c^2-a^2$$

Теперь мы можем найти значение высоты треугольника $AC$, извлекая квадратный корень:

$$AC=\sqrt{c^2-a^2}$$

Теперь у нас есть как основание, так и высота треугольника, и мы можем рассчитать его площадь, используя формулу:

$$Площадь=\frac{1}{2}\times основание\times высота$$

Подставим известные значения:

$$Площадь=\frac{1}{2}\times c\times \sqrt{c^2-a^2}$$

Это и есть ответ на задачу. Вы можете проверить свои вычисления, подставив известные значения и получив численный результат.