Если sinx=-2/7, то как вычислить cos2x, используя формулу двойного угла?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Используем формулу для синуса двойного угла: \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\).
2. У нас уже дано значение синуса угла \(x\), равное \(-\frac{2}{7}\). Подставим это значение в формулу: \(\sin(2x) = 2\left(-\frac{2}{7}\right)\cos(x)\).
3. Возьмем квадрат обеих частей уравнения, чтобы избавиться от двойного угла: \(\sin^2(2x) = 4\left(-\frac{2}{7}\right)^2\cos^2(x)\).
4. Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) для замены \(\cos^2(x)\): \(\sin^2(2x) = 4\left(-\frac{2}{7}\right)^2(1 - \sin^2(x))\).
5. Раскроем скобки: \(\sin^2(2x) = 4\left(-\frac{2}{7}\right)^2 - 4\left(-\frac{2}{7}\right)^2\sin^2(x)\).
6. Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю и упростим: \(\sin^2(2x) = \frac{16}{49} - \frac{16}{49}\sin^2(x)\).
7. Заменим \(\sin^2(x)\) на \(\left(\frac{-2}{7}\right)^2\) из условия: \(\sin^2(2x) = \frac{16}{49} - \frac{16}{49}\left(\frac{-2}{7}\right)^2\).
8. Вычислим значение в скобках и упростим: \(\sin^2(2x) = \frac{16}{49} - \frac{16}{49}\cdot\frac{4}{49}\).
9. Таким образом, мы получили значение \(\sin^2(2x)\), равное \(\frac{16}{49}-\frac{64}{49\cdot49}\).
10. Выполним арифметические вычисления: \(\sin^2(2x) = \frac{784-64}{49\cdot49} = \frac{720}{49\cdot49}\).
11. Теперь найдем косинус угла 2x при помощи формулы косинуса: \(\cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x)\).
12. Подставим значение \(\sin^2(2x)\), равное \(\frac{720}{49\cdot49}\), в формулу и упростим: \(\cos^2(2x) = 1 - \frac{720}{49\cdot49}\).
13. Приведем правую часть к общему знаменателю: \(\cos^2(2x) = \frac{49\cdot49}{49\cdot49} - \frac{720}{49\cdot49}\).
14. Выполним арифметические вычисления: \(\cos^2(2x) = \frac{2401-720}{49\cdot49} = \frac{1681}{49\cdot49}\).
15. Важно отметить, что \(\cos(2x)\) может быть положительным или отрицательным, так как у нас нет информации о четверти, в которой находится угол 2x. Поэтому необходимо взять квадратный корень из \(\frac{1681}{49\cdot49}\) и добавить правильный знак.
16. Мы получили \(\cos(2x)\), равное \(\pm\frac{41}{49}\).

Таким образом, с использованием формулы двойного угла мы нашли значение \(\cos(2x)\), равное \(\pm\frac{41}{49}\).