Если разность катетов прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом 5 см, составляет, найдите значение

Нам дан прямоугольный треугольник, вписанный в окружность с радиусом 5 см. Мы знаем, что в окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, радиус является половиной гипотенузы.

Пусть x - это значение меньшего катета. Тогда, в соответствии с теоремой Пифагора, величина большего катета будет равна:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
\[x^2 + (2x)^2 = (2x+5)^2\]

Давайте разберемся с этим уравнением по шагам.

1. Возводим \(2x+5\) в квадрат:
\((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25\)

2. Раскрываем скобки в левой части уравнения:
\(x^2 + 4x^2 = 4x^2\)

3. Приравниваем правую и левую части уравнения
\(x^2 + 4x^2 = 4x^2 + 20x + 25\)

4. Сокращаем слагаемые на обеих сторонах уравнения:
\(5x^2 = 20x + 25\)

5. Переносим все слагаемые влево и приводим подобные:
\(5x^2 - 20x - 25 = 0\)

6. Разделяем все коэффициенты на 5, чтобы упростить уравнение:
\(x^2 - 4x - 5 = 0\)

7. Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем либо использовать формулу квадратного корня, либо разложить его на множители. В данном случае, разложение на множители будет проще.

Мы ищем два числа, которые в сумме дают -4 (коэффициент при x) и при произведении дают -5 (свободный член). Эти числа -5 и 1. Поэтому мы можем разложить уравнение следующим образом:
\((x - 5)(x + 1) = 0\)

8. Раскрытие скобок:
\(x - 5 = 0\) или \(x + 1 = 0\)

9. Решение каждого уравнения:
\(x = 5\) или \(x = -1\)

Мы ищем положительное значение меньшего катета, поэтому выбираем \(x = 5\).

Таким образом, значение большего катета равно \(2x + 5 = 2 \cdot 5 + 5 = 10 + 5 = 15\) см.

Ответ: Значение большего катета равно 15 см.