Если радиус орбиты первого спутника R1 равен 8000 км, каков радиус орбиты R2 второго спутника, если скорость движения

Для решения данной задачи воспользуемся двумя основными формулами орбитального движения спутников:

1. Скорость спутника \( v \) на его орбите зависит от радиуса \( R \) орбиты и массы планеты \( M \), вокруг которой спутник движется (формула орбитальной скорости):

\[ v = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{R}}} \]

где \( G \) - гравитационная постоянная, приближенное значение которой равно \( 6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2} \).

2. В данной задаче нам также дано, что скорость спутника \( v_1 \) вдвое больше скорости спутника \( v_2 \) (или, иначе говоря, \( v_1 = 2v_2 \)).

Теперь давайте посмотрим на радиусы орбит каждого из спутников:

Для первого спутника:
\[ v_1 = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{R_1}}} \]

Для второго спутника:
\[ v_2 = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{R_2}}} \]

Учитывая, что \( v_1 = 2v_2 \), мы можем записать это в виде уравнения:

\[ \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{R_1}}} = 2 \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{{R_2}}} \]

Уберем корни, возведя обе части уравнения в квадрат:

\[ \frac{{G \cdot M}}{{R_1}} = 4 \cdot \frac{{G \cdot M}}{{R_2}} \]

Теперь можно сократить \( G \cdot M \) с обеих сторон уравнения:

\[ \frac{1}{{R_1}} = \frac{4}{{R_2}} \]

Инвертируем это уравнение, чтобы выразить \( R_2 \):

\[ R_2 = \frac{{R_1}}{4} \]

Теперь подставим значение радиуса орбиты первого спутника \( R_1 = 8000 \) км в данное уравнение:

\[ R_2 = \frac{{8000 \, \text{км}}}{4} = 2000 \, \text{км} \]

Итак, радиус орбиты второго спутника \( R_2 \) равен 2000 км.