Если на карте расстояние между тремя городами составляет 4см, 5см и 6см, а наибольшее расстояние между двумя городами

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов. Эта теорема позволяет нам вычислить одну из сторон треугольника, если известны все его стороны и угол между ними.

Обозначим расстояние между третьим и первым городами как \(a\), между первым и вторым городами как \(b\), и между вторым и третьим городами как \(c\). Мы знаем, что \(a = 4\) см, \(b = 5\) см, и \(c = 6\) см.

Теперь нам нужно найти расстояние между оставшимися двумя городами, то есть между первым и третьим городами. Обозначим это расстояние как \(d\).

Используя теорему косинусов, получаем следующее выражение:

\[d^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos{\angle{ACB}}\]

где \(\angle{ACB}\) - это угол между городами A и C (то есть между первым и третьим городами).

Мы не знаем значение угла \(\angle{ACB}\), но мы можем использовать косинусную теорему, чтобы найти его. Обозначим угол \(\angle{BAC}\) как \(\alpha\), угол \(\angle{ABC}\) как \(\beta\) и угол \(\angle{ACB}\) как \(\gamma\). Тогда у нас есть следующие уравнения:

\[\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]
\[\cos{\beta} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]
\[\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).

Теперь мы можем найти значения углов \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), используя данные из задания:

\[\cos{\alpha} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}\]
\[\cos{\beta} = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6}\]

Решив данные уравнения, получаем значения косинусов:

\[\cos{\alpha} \approx 0.633\]
\[\cos{\beta} \approx 0.267\]

Теперь мы можем найти значение косинуса угла \(\gamma\) и потом сам угол \(\gamma\):

\[\cos{\gamma} = \cos{(180^\circ - \alpha - \beta)} = -\cos{(\alpha + \beta)} \approx -0.552\]

Заметим, что косинус является отрицательным, что означает, что угол \(\gamma\) больше 90 градусов. Для нас это не представляется значимой информацией, так как нам нужно только значение расстояния \(d\), а не сам угол.

Теперь, когда у нас есть значение косинуса угла \(\gamma\), мы можем выразить расстояние \(d\) с помощью теоремы косинусов:

\[d^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot (-0.552)\]

Подставляя значения \(a = 4\) см и \(c = 6\) см, получаем:

\[d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (-0.552)\]

\[d^2 = 16 + 36 + 4.224 \approx 56.224\]

Итак, расстояние \(d\) между первым и третьим городами равно приблизительно \(\sqrt{56.224} \approx 7.5\) см.

Для получения ответа в порядке возрастания, учитывая, что \(a\) и \(b\) изначально неизвестны, мы можем составить две комбинации из трех расстояний: \(4, 5, 6\). Итак, расстояние между оставшимися двумя городами равно либо \(5\) см или \(6\) см.