Если концентрация молекул второго газа вдвое меньше концентрации молекул первого газа, но плотности газов равны

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом Грэма для диффузии газов. Закон утверждает, что скорость диффузии газа обратно пропорциональна квадратному корню из его молярной массы. Это означает, что чем меньше молярная масса газа, тем быстрее он будет диффундировать.

Итак, у нас есть два газа: первый газ с молярной массой ${м}_1$ и второй газ с молярной массой ${м}_2$. По условию задачи, концентрация молекул второго газа вдвое меньше концентрации молекул первого газа и плотности газов равны.

Пусть ${С}_1$ - концентрация молекул первого газа и ${С}_2$ - концентрация молекул второго газа. Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

$${С}_2=\frac{1}{2}\cdot {С}_1$$

Следующим шагом мы можем записать выражения для плотностей газов. Плотность газа определяется как отношение его массы к его объему. Пусть ${\rho }_1$ - плотность первого газа и ${\rho }_2$ - плотность второго газа. Так как плотности газов равны, мы можем записать следующее равенство:

$$\frac{масс{а}_1}{объе{м}_1}=\frac{масс{а}_2}{объе{м}_2}$$

Мы можем переписать это равенство, выразив массу через плотность и объем:

$${\rho }_1=\frac{масс{а}_1}{объе{м}_1}\text{и}{\rho }_2=\frac{масс{а}_2}{объе{м}_2}$$

Теперь посмотрим на выражение для плотности второго газа и воспользуемся выражением для плотности первого газа:

$$\frac{масс{а}_2}{объе{м}_2}=\frac{масс{а}_1}{объе{м}_1}$$

Мы можем заменить полученные выражения для массы через плотность и объем:

$$\frac{{\rho }_2}{объе{м}_2}=\frac{{\rho }_1}{объе{м}_1}$$

Так как объемы газов неизвестны, мы можем переписать это выражение, используя концентрации газов:

$$\frac{{\rho }_2}{{С}_2}=\frac{{\rho }_1}{{С}_1}$$

Так как по условию задачи концентрация молекул второго газа вдвое меньше концентрации молекул первого газа, мы можем заменить ${С}_2$ в выражении:

$$\frac{{\rho }_2}{\frac{1}{2}\cdot {С}_1}=\frac{{\rho }_1}{{С}_1}$$

Разделим обе части равенства на ${С}_1$:

$$\frac{{\rho }_2}{\frac{1}{2}}={\rho }_1$$

Выразим плотность второго газа:

$$2{\rho }_2={\rho }_1$$

Теперь, вернемся к закону Грэма. У нас есть выражение, связывающее скорости диффузии газов с их молярными массами. По условию, концентрация газов находится в прямой зависимости от их скорости диффузии. Таким образом, можно записать следующее выражение для концентраций:

$$\frac{{С}_2}{{С}_1}=\sqrt{\frac{{м}_1}{{м}_2}}$$

Мы знаем, что ${С}_2=\frac{1}{2}\cdot {С}_1$, поэтому можем заменить это значение:

$$\frac{\frac{1}{2}\cdot {С}_1}{{С}_1}=\sqrt{\frac{{м}_1}{{м}_2}}$$

Упростим выражение:

$$\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{{м}_1}{{м}_2}}$$

Квадратируем обе части равенства:

$$\frac{1}{4}=\frac{{м}_1}{{м}_2}$$

Мы хотим найти связь между молярными массами ${м}_1$ и ${м}_2$. Обратим внимание, что вариантов ответа у нас только пять. Давайте подставим варианты ответов в данное уравнение и увидим, какой вариант будет верным.

a) Если ${м}_1=4\cdot {м}_2$, то:

$$\frac{1}{4}=\frac{4\cdot {м}_2}{{м}_2}$$
$$\frac{1}{4}=4$$

Это неверно, поэтому вариант ответа a) не является правильным.

b) Если ${м}_1=0.5\cdot {м}_2$, то:

$$\frac{1}{4}=\frac{0.5\cdot {м}_2}{{м}_2}$$
$$\frac{1}{4}=0.5$$

Это неверно, поэтому вариант ответа b) также неправильный.

c) Если ${м}_1={м}_2$, то:

$$\frac{1}{4}=\frac{{м}_1}{{м}_2}$$
$$\frac{1}{4}=1$$

Это также неверно, поэтому вариант ответа c) неправильный.

d) Если ${м}_1=0.25\cdot {м}_2$, то:

$$\frac{1}{4}=\frac{0.25\cdot {м}_2}{{м}_2}$$
$$\frac{1}{4}=0.25$$

Это верно! Таким образом, вариант ответа d) является правильным.

e) Вариант ответа e) не представлен.

Итак, связь между молярными массами газов ${м}_1$ и ${м}_2$ данной системы задана следующим образом: ${м}_1=0.25\cdot {м}_2$, или в более простой форме, молярная масса первого газа равна четверти молярной массы второго газа (${м}_1=0.25\cdot {м}_2$). Таким образом, правильным ответом на задачу является вариант ответа d).