Если концентрация молекул второго газа вдвое меньше концентрации молекул первого газа, но плотности газов равны

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом Грэма для диффузии газов. Закон утверждает, что скорость диффузии газа обратно пропорциональна квадратному корню из его молярной массы. Это означает, что чем меньше молярная масса газа, тем быстрее он будет диффундировать.

Итак, у нас есть два газа: первый газ с молярной массой \(м_1\) и второй газ с молярной массой \(м_2\). По условию задачи, концентрация молекул второго газа вдвое меньше концентрации молекул первого газа и плотности газов равны.

Пусть \(С_1\) - концентрация молекул первого газа и \(С_2\) - концентрация молекул второго газа. Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

\[С_2 = \frac{1}{2} \cdot С_1\]

Следующим шагом мы можем записать выражения для плотностей газов. Плотность газа определяется как отношение его массы к его объему. Пусть \(ρ_1\) - плотность первого газа и \(ρ_2\) - плотность второго газа. Так как плотности газов равны, мы можем записать следующее равенство:

\[\frac{масса_1}{объем_1} = \frac{масса_2}{объем_2}\]

Мы можем переписать это равенство, выразив массу через плотность и объем:

\[ρ_1 = \frac{масса_1}{объем_1} \quad \text{и} \quad ρ_2 = \frac{масса_2}{объем_2}\]

Теперь посмотрим на выражение для плотности второго газа и воспользуемся выражением для плотности первого газа:

\[\frac{масса_2}{объем_2} = \frac{масса_1}{объем_1}\]

Мы можем заменить полученные выражения для массы через плотность и объем:

\[\frac{ρ_2}{объем_2} = \frac{ρ_1}{объем_1}\]

Так как объемы газов неизвестны, мы можем переписать это выражение, используя концентрации газов:

\[\frac{ρ_2}{С_2} = \frac{ρ_1}{С_1}\]

Так как по условию задачи концентрация молекул второго газа вдвое меньше концентрации молекул первого газа, мы можем заменить \(С_2\) в выражении:

\[\frac{ρ_2}{\frac{1}{2} \cdot С_1} = \frac{ρ_1}{С_1}\]

Разделим обе части равенства на \(С_1\):

\[\frac{ρ_2}{\frac{1}{2}} = ρ_1\]

Выразим плотность второго газа:

\[2ρ_2 = ρ_1\]

Теперь, вернемся к закону Грэма. У нас есть выражение, связывающее скорости диффузии газов с их молярными массами. По условию, концентрация газов находится в прямой зависимости от их скорости диффузии. Таким образом, можно записать следующее выражение для концентраций:

\[\frac{С_2}{С_1} = \sqrt{\frac{м_1}{м_2}}\]

Мы знаем, что \(С_2 = \frac{1}{2} \cdot С_1\), поэтому можем заменить это значение:

\[\frac{\frac{1}{2} \cdot С_1}{С_1} = \sqrt{\frac{м_1}{м_2}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{м_1}{м_2}}\]

Квадратируем обе части равенства:

\[\frac{1}{4} = \frac{м_1}{м_2}\]

Мы хотим найти связь между молярными массами \(м_1\) и \(м_2\). Обратим внимание, что вариантов ответа у нас только пять. Давайте подставим варианты ответов в данное уравнение и увидим, какой вариант будет верным.

a) Если \(м_1 = 4 \cdot м_2\), то:

\[\frac{1}{4} = \frac{4 \cdot м_2}{м_2}\]
\[\frac{1}{4} = 4\]

Это неверно, поэтому вариант ответа a) не является правильным.

b) Если \(м_1 = 0.5 \cdot м_2\), то:

\[\frac{1}{4} = \frac{0.5 \cdot м_2}{м_2}\]
\[\frac{1}{4} = 0.5\]

Это неверно, поэтому вариант ответа b) также неправильный.

c) Если \(м_1 = м_2\), то:

\[\frac{1}{4} = \frac{м_1}{м_2}\]
\[\frac{1}{4} = 1\]

Это также неверно, поэтому вариант ответа c) неправильный.

d) Если \(м_1 = 0.25 \cdot м_2\), то:

\[\frac{1}{4} = \frac{0.25 \cdot м_2}{м_2}\]
\[\frac{1}{4} = 0.25\]

Это верно! Таким образом, вариант ответа d) является правильным.

e) Вариант ответа e) не представлен.

Итак, связь между молярными массами газов \(м_1\) и \(м_2\) данной системы задана следующим образом: \(м_1 = 0.25 \cdot м_2\), или в более простой форме, молярная масса первого газа равна четверти молярной массы второго газа (\(м_1 = 0.25 \cdot м_2\)). Таким образом, правильным ответом на задачу является вариант ответа d).