Если f(x)=x^3-3, то каков коэффициент a4 в разложении данной функции по формуле

Question

Математика: Если f(x)=x^3-3, то каков коэффициент a4 в разложении данной функции по формуле Тейлора в степенях (x-3)?

Panda · Accepted Answer

Для начала, нам необходимо вычислить производные функции \( f(x) = x^3 - 3 \). Выполним это пошагово:

\( f"(x) = 3x^2 \) (производная кубической функции)

\( f""(x) = 6x \) (производная квадратичной функции)

\( f"""(x) = 6 \) (производная линейной функции)

\( f""""(x) = 0 \) (производная константы)

Теперь мы можем записать ряд Тейлора для данной функции вокруг точки \( x = 3 \):

\[ f(x) = f(3) + f"(3)(x-3) + \frac{f""(3)(x-3)^2}{2!} + \frac{f"""(3)(x-3)^3}{3!} + \frac{f""""(3)(x-3)^4}{4!} + \ldots \]

Подставляя значения производных в точке \( x = 3 \), получим:

\[ f(x) = f(3) + 0(x-3) + \frac{6(x-3)^2}{2!} + \frac{6(x-3)^3}{3!} + \frac{0(x-3)^4}{4!} + \ldots \]

Сокращая выражение, получим:

\[ f(x) = f(3) + 3(x-3)^2 + (x-3)^3 \]

Здесь \( f(3) = 3^3 - 3 = 24 \). Поэтому окончательный ответ будет:

\[ f(x) = 24 + 3(x-3)^2 + (x-3)^3 \]

Таким образом, коэффициент \( a_4 \) равен 1.

Если f(x)=x^3-3, то каков коэффициент a4 в разложении данной функции по формуле Тейлора в степенях (x-3)?

Panda

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!