Какие точки находятся в два раза дальше от начала координат, чем точка a(−9,4)? Выберите все возможные варианты

Чтобы найти точки, которые находятся в два раза дальше от начала координат, чем точка a(-9,4), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) можно найти с помощью формулы:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставляя значения из задачи, получим:

\[d = \sqrt{{(x - (-9))^2 + (y - 4)^2}}\]

Теперь нам нужно найти точки, для которых расстояние \((d)\) равно в два раза больше расстояния от начала координат до точки a. Это означает, что:

\[d = 2 \sqrt{{(-9)^2 + 4^2}} = 2 \sqrt{{81 + 16}} = 2 \sqrt{{97}}\]

Теперь мы можем проверить каждую из данной вариантов точек и убедиться, подходят ли они под это условие.

a) Точка B(18,8):

\[d = \sqrt{{(18 - (-9))^2 + (8 - 4)^2}} = \sqrt{{27^2 + 4^2}} = \sqrt{{729 + 16}} \neq 2 \sqrt{{97}}\]

Точка B не находится в два раза дальше от начала координат, чем точка a.

b) Точка E(4,7):

\[d = \sqrt{{(4 - (-9))^2 + (7 - 4)^2}} = \sqrt{{13^2 + 3^2}} = \sqrt{{169 + 9}} \neq 2 \sqrt{{97}}\]

Точка E не находится в два раза дальше от начала координат, чем точка a.

c) Точка D(9,4):

\[d = \sqrt{{(9 - (-9))^2 + (4 - 4)^2}} = \sqrt{{18^2}} = 18 = 2 \sqrt{{97}}\]

Точка D находится в два раза дальше от начала координат, чем точка a. Ответ: D(9,4).

d) Точка C(-18,8):

\[d = \sqrt{{(-18 - (-9))^2 + (8 - 4)^2}} = \sqrt{{9^2 + 4^2}} = \sqrt{{81 + 16}} \neq 2 \sqrt{{97}}\]

Точка C не находится в два раза дальше от начала координат, чем точка a.

e) Точка G(0):

\[d = \sqrt{{(0 - (-9))^2 + (0 - 4)^2}} = \sqrt{{9^2 + 4^2}} = \sqrt{{81 + 16}} \neq 2 \sqrt{{97}}\]

Точка G не находится в два раза дальше от начала координат, чем точка a.

f) Точка F(-4,7):

\[d = \sqrt{{(-4 - (-9))^2 + (7 - 4)^2}} = \sqrt{{5^2 + 3^2}} = \sqrt{{25 + 9}} \neq 2 \sqrt{{97}}\]

Точка F не находится в два раза дальше от начала координат, чем точка a.

Таким образом, единственной точкой, которая находится в два раза дальше от начала координат, чем точка a(-9,4), является точка D(9,4).

Теперь рассмотрим вторую задачу, чтобы найти точки, которые находятся в два раза ближе к началу координат, чем точка a(6,2). Мы используем ту же формулу расстояния и аналогичное рассуждение.

Подставив значения из задачи, получим:

\[d = \sqrt{{(x - 6)^2 + (y - 2)^2}}\]

Теперь нам нужно найти точки, для которых расстояние \((d)\) равно в два раза меньше расстояния от начала координат до точки a. Это означает, что:

\[d = \frac{{1}}{{2}} \sqrt{{6^2 + 2^2}} = \frac{{1}}{{2}} \sqrt{{36 + 4}} = \frac{{1}}{{2}} \sqrt{{40}} = \sqrt{{10}}\]

Теперь мы можем проверить каждую из данной вариантов точек и убедиться, подходят ли они под это условие.

a) Точка D(12,4):

\[d = \sqrt{{(12 - 6)^2 + (4 - 2)^2}} = \sqrt{{6^2 + 2^2}} = \sqrt{{36 + 4}} \neq \sqrt{{10}}\]

Точка D не находится в два раза ближе к началу координат, чем точка a.

b) Точка C(-3,1):

\[d = \sqrt{{(-3 - 6)^2 + (1 - 2)^2}} = \sqrt{{(-9)^2 + (-1)^2}} = \sqrt{{81 + 1}} \neq \sqrt{{10}}\]

Точка C не находится в два раза ближе к началу координат, чем точка a.

c) Точка G(0):

\[d = \sqrt{{(0 - 6)^2 + (0 - 2)^2}} = \sqrt{{(-6)^2 + (-2)^2}} = \sqrt{{36 + 4}} \neq \sqrt{{10}}\]

Точка G не находится в два раза ближе к началу координат, чем точка a.

d) Точка F(-6,2):

\[d = \sqrt{{(-6 - 6)^2 + (2 - 2)^2}} = \sqrt{{(-12)^2}} = 12 \neq \sqrt{{10}}\]

Точка F не находится в два раза ближе к началу координат, чем точка a.

e) Точка E(-12,4):

\[d = \sqrt{{(-12 - 6)^2 + (4 - 2)^2}} = \sqrt{{(-18)^2 + 2^2}} = \sqrt{{324 + 4}} \neq \sqrt{{10}}\]

Точка E не находится в два раза ближе к началу координат, чем точка a.

f) Точка B(3,1):

\[d = \sqrt{{(3 - 6)^2 + (1 - 2)^2}} = \sqrt{{(-3)^2 + (-1)^2}} = \sqrt{{9 + 1}} \neq \sqrt{{10}}\]

Точка B не находится в два раза ближе к началу координат, чем точка a.

Таким образом, нет точек, которые находятся в два раза ближе к началу координат, чем точка a(6,2). Ответ: нет таких точек.