Если для функции на промежутке (a;b) верно условие f / (x)> 0, то выберите один вариант: a. функция возрастает

Для решения этой задачи нам понадобится знание о производных функций. Данная задача связана с анализом поведения функции на заданном промежутке.

По условию задачи, нам известно, что \(f(x)\) делится на \(x\) и, следовательно, \(\frac{{f(x)}}{{x}}\) существует. Также известно, что данное выражение больше нуля (\(\frac{{f(x)}}{{x}} > 0\)).

Давайте рассмотрим возможные варианты ответа:

a. Функция возрастает на данном промежутке.

Для проверки этого варианта, возьмем две точки \(x_1\) и \(x_2\) на промежутке \((a; b)\), где \(x_1 < x_2\). Если функция возрастает, то ее значение должно увеличиваться с увеличением значения аргумента. В нашем случае, если функция возрастает, то соотношение \(\frac{{f(x_1)}}{{x_1}} < \frac{{f(x_2)}}{{x_2}}\) должно быть выполнено для любых точек на промежутке \((a; b)\). Однако, у нас нет информации о поведении функции при различных значениях аргумента, кроме условия \(\frac{{f(x)}}{{x}} > 0\), поэтому мы не можем утверждать о возрастании функции на данном промежутке.

b. Функция выпукла на данном промежутке.

Если функция выпукла на заданном промежутке, то касательные, проведенные из нижних точек графика, должны лежать ниже самой функции. Однако, мы не имеем никакой информации о второй производной функции или о кривизне ее графика, поэтому мы не можем сделать вывод о выпуклости функции на данном промежутке.

c. Функция убывает на данном промежутке.

Для проверки этого варианта, также возьмем две точки \(x_1\) и \(x_2\) на промежутке \((a; b)\), где \(x_1 < x_2\). Если функция убывает, то ее значение должно уменьшаться с увеличением значения аргумента. В нашем случае, если функция убывает, то соотношение \(\frac{{f(x_1)}}{{x_1}} > \frac{{f(x_2)}}{{x_2}}\) должно быть выполнено для любых точек на промежутке \((a; b)\). Из условия \(\frac{{f(x)}}{{x}} > 0\) следует, что знаки \(\frac{{f(x_1)}}{{x_1}}\) и \(\frac{{f(x_2)}}{{x_2}}\) должны быть одинаковыми для любых точек на промежутке \((a; b)\). Таким образом, нам достаточно одной точки, для которой \(\frac{{f(x)}}{{x}} > 0\), чтобы убедиться, что функция убывает на данном промежутке.

d. Функция вогнута на данном промежутке.

Аналогично букве b, мы не имеем достаточно информации о второй производной функции или о кривизне ее графика, поэтому мы не можем сделать вывод о вогнутости функции на данном промежутке.

Таким образом, из данных условий можно сделать вывод, что функция убывает на заданном промежутке \((a; b)\) (вариант c). Знание того, что \(\frac{{f(x)}}{{x}} > 0\) позволяет нам сделать вывод о знаке функции, но не позволяет точно определить, возрастает она или убывает.