Если числа loga_b, logc_b, logc_d, loga_d образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, найдите наименьшее

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами логарифмов и арифметической прогрессии.

Итак, дано, что числа loga_b, logc_b, logc_d, loga_d образуют арифметическую прогрессию.

Мы знаем, что для арифметической прогрессии разность между любыми двумя последовательными членами одинаковая. Используем это свойство для нахождения разности прогрессии.

Разность прогрессии между членами loga_b и logc_b:
\[d_1 = logc_b - loga_b\]

Разность прогрессии между членами logc_b и logc_d:
\[d_2 = logc_d - logc_b\]

Разность прогрессии между членами logc_d и loga_d:
\[d_3 = loga_d - logc_d\]

Так как числа образуют арифметическую прогрессию, то d_1 = d_2 = d_3.

Далее, воспользуемся свойствами логарифмов для упрощения выражений.

1. \(log_bx - log_ay = log_b \frac{x}{y}\)
2. \(log_bx + log_by = log_b(xy)\)
3. \(log_ab = \frac{1}{log_ba}\)

Применим эти свойства для упрощения выражений d_1, d_2 и d_3.

d_1 = \(logc_b - loga_b = log_b \frac{c}{a}\)
d_2 = \(logc_d - logc_b = log_b \frac{c_d}{c}\)
d_3 = \(loga_d - logc_d = log_d \frac{a}{c_d}\)

Так как d_1 = d_2 = d_3, то:

\(log_b \frac{c}{a} = log_b \frac{c_d}{c} = log_d \frac{a}{c_d}\)

Уравнения допускают равенство приравнянных соотношений:

\[\frac{c}{a} = \frac{c_d}{c} = \frac{a}{c_d}\]

Из первого соотношения получим:

\(c \cdot c_d = a^2 \) ...(1)

Из второго соотношения получим:

\(c^2 = c_d \cdot a\) ...(2)

Подставим (2) в (1):

\(c \cdot c_d = c^2 \cdot a\)

Для решения нам необходимо найти наименьшее значение c. Обратим внимание, что подразумевается положительное значение c.

Если рассмотреть случай, когда c = 0, то из соотношений видно, что остальные переменные тоже равны 0. Однако, по условию задачи все log-аргументы должны быть положительными числами. Поэтому, мы исключаем случай c = 0.

Поделим обе части уравнения на c. Получаем:

\(c_d = c \cdot a\) ...(3)

Теперь выразим \(c_d\) из уравнения (3) и подставим в уравнение (2):

\(c^2 = c \cdot a \cdot a\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(c^4 = c^2 \cdot a^2\)

Теперь делим обе части на \(c^2\):

\(c^2 = a^2\)

Возьмем положительный корень из обеих частей:

\(c = a\)

Таким образом, получаем, что наименьшее значение c равно a.

Ответ: \(c = a\)