Если апофема правильной треугольной пирамиды равна, то какова полная поверхность пирамиды?

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Понимание терминов
Прежде чем мы начнем, давайте разберемся с некоторыми терминами. Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до середины одной из ее боковых граней. Полная поверхность пирамиды - это сумма площадей всех ее граней.

Шаг 2: Вывод формулы для площади боковой грани
Для нахождения полной поверхности пирамиды нам понадобится знать формулу для площади каждой из ее боковых граней. Для этого мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, так как каждая боковая грань пирамиды - это треугольник. Площадь треугольника можно найти как половину произведения его основания (a) на высоту (h).

Шаг 3: Вычисление площади боковой грани
У нас есть апофема (a) и сторона основания треугольной пирамиды (b). Для нахождения площади одной боковой поверхности пирамиды мы можем воспользоваться формулой:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\]

Где \(h\) - это высота треугольника, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора. В случае нашей треугольной пирамиды, мы можем использовать соотношение \(h = \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2}\).

Шаг 4: Вычисление полной поверхности пирамиды
Полная поверхность пирамиды - это сумма площадей всех ее граней, включая основание. Таким образом, чтобы найти полную поверхность пирамиды, нам нужно умножить площадь основания на 4 и добавить площади всех боковых граней:
\[S_{\text{полн}} = 4 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

Шаг 5: Подставление значений и вычисление
Теперь у нас есть все необходимые формулы и мы можем подставить значения и вычислить полную поверхность пирамиды.

Применим наши формулы к задаче:
Пусть апофема пирамиды равна \(a\) (то есть \(a = 5\)).
Также пусть сторона основания пирамиды \(b\) равна 10.

1. Найдем высоту пирамиды:
\[h = \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2}\]
\[h = \sqrt{5^2 - (\frac{10}{2})^2}\]
\[h = \sqrt{25 - 25}\]
\[h = \sqrt{0}\]
\[h = 0\]

2. Теперь найдем площадь боковой грани пирамиды:
\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\]
\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0\]
\[S_{\text{бок}} = 0\]

3. Наконец, найдем полную поверхность пирамиды:
\[S_{\text{полн}} = 4 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]
\[S_{\text{полн}} = 4 \cdot S_{\text{осн}} + 0\]
\[S_{\text{полн}} = 4 \cdot 25 + 0\]
\[S_{\text{полн}} = 100\]

Ответ: Полная поверхность пирамиды равна 100.