Если a является элементом множества, то функция f(x)=x^3+3x^2+6ax+5 всегда возрастает для всех значений

Хорошо, чтобы понять, будет ли функция \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 6ax + 5\) всегда возрастать для всех значений, мы должны проанализировать ее производную. Поскольку функция \(f(x)\) имеет третью степень, мы должны найти производную первого порядка.

Для начала найдем производную функции \(f(x)\):

\[f"(x) = \frac {d}{dx} (x^3 + 3x^2 + 6ax + 5)\]

Для этого нам нужно применить правила дифференцирования. Производная от \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\). Применим это правило ко всем слагаемым в нашей функции:

\[f"(x) = \frac {d}{dx}(x^3) + \frac {d}{dx}(3x^2) + \frac {d}{dx}(6ax) + \frac {d}{dx}(5)\]
\[f"(x) = 3x^2 + 6x + 6a\]

Теперь мы имеем производную функции \(f(x)\), обозначим ее как \(f"(x)\). Чтобы выяснить, будет ли \(f(x)\) возрастать для всех значений \(x\), нужно проанализировать знак производной \(f"(x)\).

Если \(f"(x) > 0\) для всех значений \(x\), то функция \(f(x)\) будет возрастать. Выражение \(f"(x) > 0\) означает, что производная \(f"(x)\) положительна.

Таким образом, чтобы выяснить, когда функция \(f(x)\) возрастает, нам нужно найти все значения \(x\), для которых \(f"(x) > 0\).

Решим неравенство \(f"(x) > 0\):

\[3x^2 + 6x + 6a > 0\]

Для решения этого неравенства, мы можем использовать метод анализа знаков. Здесь мы должны рассмотреть три случая в зависимости от знака коэффициента \(a\).

Случай 1: Если \(a > 0\), то неравенство \(3x^2 + 6x + 6a > 0\) истинно для всех значений \(x\). Это происходит, потому что каждый член в выражении больше нуля для всех значений \(x\) при положительном коэффициенте \(a\).

Случай 2: Если \(a < 0\), тогда неравенство \(3x^2 + 6x + 6a > 0\) истинно только для определенных значений \(x\). Мы можем решить это неравенство, используя метод анализа знаков или факторизацию квадратного трехчлена.

Случай 3: Если \(a = 0\), то неравенство \(3x^2 + 6x > 0\) становится \(x(x+2) > 0\). Это неравенство истинно только для \(x > 0\) или \(x < -2\), то есть функция возрастает на этих интервалах.

Таким образом, функция \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 6ax + 5\) будет возрастать для следующих диапазонов значений \(x\):
1) Если \(a > 0\), она возрастает для всех значений \(x\).
2) Если \(a < 0\), то она возрастает только для определенных значений \(x\) в зависимости от значения \(a\).
3) Если \(a = 0\), она возрастает для \(x > 0\) или \(x < -2\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, когда функция \(f(x)\) является возрастающей для всех значений \(x\). Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!