Equation of the circle: x2+y2=16. Equation of the line: x=a. Find the values of a for which... (In the answer to each

Для решения этой задачи нам нужно найти значения a, при которых прямая имеет одну точку пересечения с окружностью, две точки пересечения с окружностью, или не имеет точек пересечения с окружностью.

1. Количество точек пересечения между прямой и окружностью зависит от того, находится ли точка пересечения прямой и окружности внутри или на окружности. Для одной точки пересечения, прямая должна быть касательной к окружности.

Подставим уравнение прямой (\(x = a\)) в уравнение окружности (\(x^2 + y^2 = 16\)):

\(a^2 + y^2 = 16\)

Поскольку у нас нет значения для y, мы не сможем определить конкретную точку на окружности. Однако, если мы предположим, что y = 0, то получим:

\(a^2 + 0^2 = 16\)

Это дает нам квадратное уравнение: \(a^2 = 16\)

Решим это уравнение. Извлекая корни обеих сторон, получим:

\(a = \pm 4\)

Таким образом, для одной точки пересечения прямой и окружности, значения \(a\) равны \(-4\) или \(4\).

2. Для двух точек пересечения прямой и окружности, прямая должна пересекать окружность дважды. Рассмотрим следующие значения \(a\), чтобы найти соответствующие точки пересечения:

Подставим \(x = a\) в уравнение окружности:

\(a^2 + y^2 = 16\)

Из этого уравнения можно выразить \(y\) через \(a\), используя исключение переменных:

\(y^2 = 16 - a^2\)

\(y = \pm \sqrt{16 - a^2}\)

Таким образом, прямая будет иметь две точки пересечения с окружностью, если существуют значения \(a\), для которых справедливо:

\(\sqrt{16 - a^2}\) существует

Это возможно только при условии, что \(16 - a^2 \geq 0\), так как нельзя извлекать корень из отрицательного числа.

Решим неравенство:

\(16 - a^2 \geq 0\)

Вычтем 16 из обеих сторон:

\(-a^2 \geq -16\)

Умножим обе стороны на -1 (смена неравенства):

\(a^2 \leq 16\)

Извлекая корни обеих сторон, получим:

\(-4 \leq a \leq 4\)

Таким образом, прямая будет иметь две точки пересечения с окружностью, если значения \(a\) лежат в интервале от -4 до 4 включительно.

3. Наконец, чтобы прямая не имела точек пересечения с окружностью, она должна быть параллельна или не пересекать окружность вообще. Для уравнения \(x = a\), это будет выполняться только в случае, когда \(a\) выходит за пределы интервала от -4 до 4.

Таким образом, прямая не имеет точек пересечения с окружностью, если значения \(a\) меньше -4 или больше 4.

Итак, ответы на каждый пункт задачи:
1. a = -4 или 4
2. -4 ≤ a ≤ 4
3. a < -4 или a > 4