During the quarter, the teacher gave the students grades 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . The average grade of a student turned

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с пункта (a). Нам нужно найти максимальную долю оценок "4" в данном наборе оценок, где средняя оценка равна 3.5.

Предположим, что доля оценок "4" в наборе равна \(x\). Тогда доля оценок "5" будет равна \(1-x\), так как всего в наборе пять видов оценок.

Затем мы можем написать уравнение, используя среднюю оценку:
\[3.5 = 1 \cdot 5 + x \cdot 4 + (1-x) \cdot 3 + 2 \cdot 2\]
Мы умножаем каждую оценку на ее долю в наборе и суммируем их.

Раскрывая скобки и упрощая уравнение, мы получаем:
\[3.5 = 5 + x - 3x + 2\]
Сводя подобные члены, мы получаем:
\[3.5 = 7 - 2x\]
Теперь давайте решим это уравнение относительно \(x\):
\[2x = 7 - 3.5\]
\[2x = 3.5\]
\[x = \frac{3.5}{2}\]
\[x = 1.75\]

Таким образом, максимальная доля оценок "4" составляет 1.75, что означает, что максимум одна оценка может быть равна "4".

Перейдем к пункту (b). Здесь учитель заменяет одну оценку "4" на две оценки: одну "3" и одну "5". Мы должны найти максимально возможное значение средней оценки после этой замены.

Предположим, что средняя оценка после замены равна \(y\). Тогда мы можем написать уравнение:
\[y = \frac{{3.5 + 5 - 4}}{{n + 1}}\]
где \(n\) - количество оценок до замены (в данном случае \(n = 1\)).

Подставляя значения, мы получаем:
\[y = \frac{{3.5 + 5 - 4}}{{1 + 1}}\]
\[y = \frac{{4.5}}{{2}}\]
\[y = 2.25\]

Таким образом, максимально возможное значение средней оценки после замены равно 2.25.

Перейдем к пункту (c). Здесь учитель заменяет каждую оценку "4" на две оценки: одну "3" и одну "5". Нам нужно найти максимально возможное значение средней оценки после этой замены.

Предположим, что средняя оценка после замены равна \(z\). Тогда мы можем написать уравнение:
\[z = \frac{{3.5 + n \cdot 5 - n \cdot 4}}{{n + n}}\]
где \(n\) - количество оценок до замены.

Подставляя значения, мы получаем:
\[z = \frac{{3.5 + n \cdot 5 - n \cdot 4}}{{2n}}\]
\[z = \frac{{3.5 + n}}{{2}}\]

Таким образом, максимально возможное значение средней оценки после замены составляет \(\frac{{3.5 + n}}{{2}}\).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять задачу и получить правильные ответы.