Довжина доріжки навколо дачного будинку становить а метрів, а ширина - 1 метр. Площа доріжки дорівнює 16

Давайте разберемся с задачей.

Пусть длина дорожки вокруг дачного домика составляет \(а\) метров, а ширина равна 1 метру. Нам также известно, что площадь дорожки равна 16 \(\text{м}^2\).

Чтобы найти значения длины и ширины домика, нам нужно использовать условие, что длина должна превышать ширину на 2 метра. Используем это условие для поиска двух уравнений.

Давайте обозначим длину домика как \(х\) метров, а ширину как \(у\) метров. Тогда получаем два уравнения:

\(x = y + 2\) - уравнение, описывающее условие, что длина должна превышать ширину на 2 метра (1)

\(xy = 16\) - уравнение, описывающее площадь дорожки (2)

Мы можем использовать эти уравнения для решения задачи. Решим уравнение (1) относительно \(y\):

\(y = x - 2\) (3)

А теперь подставим \(y\) из уравнения (3) в уравнение (2):

\(x(x - 2) = 16\)

Раскроем скобки:

\(x^2 - 2x = 16\)

Таким образом, мы получили квадратное уравнение. Для его решения приведем его в стандартный вид:

\(x^2 - 2x - 16 = 0\)

Теперь можем воспользоваться квадратным уравнением.

Вы можете применить формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = -2\) и \(c = -16\).

Вычислим значение дискриминанта:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4 + 64 = 68\]

Так как дискриминант \(D\) больше нуля, уровнение имеет два действительных корня.

Применяя формулы квадратного корня, получаем два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{68}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + \sqrt{68}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{68}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{68}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - \sqrt{68}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{68}}{2}\]

Итак, получили два возможных значения для длины домика: \(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{68}}{2}\) и \(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{68}}{2}\).

Теперь мы можем использовать уравнение (3), чтобы найти соответствующие значения для ширины домика \(y\). Подставим \(x_1\) и \(x_2\) в уравнение (3):

\[y_1 = x_1 - 2 = 1 + \frac{\sqrt{68}}{2} - 2 = -1 + \frac{\sqrt{68}}{2}\]

\[y_2 = x_2 - 2 = 1 - \frac{\sqrt{68}}{2} - 2 = -1 - \frac{\sqrt{68}}{2}\]

Таким образом, получаем два возможных значения для ширины домика: \(y_1 = -1 + \frac{\sqrt{68}}{2}\) и \(y_2 = -1 - \frac{\sqrt{68}}{2}\).

Обратите внимание, что значения ширины домика \(y_1\) и \(y_2\) отрицательны, что не имеет физического смысла в данной задаче. Поэтому отбрасываем отрицательные решения и оставляем только положительные значения.

Таким образом, значения для длины и ширины домика составляют:

Длина (\(x\)): \(1 + \frac{\sqrt{68}}{2}\) метров

Ширина (\(y\)): \(1 + \frac{\sqrt{68}}{2}\) метров

Это подробное решение задачи, включающее вычисления, пояснения и шаги, необходимые для полного понимания школьником.