Доведіть, що відстань від точки a до центра кола дорівнює двом радіусам кола

Щоб довести, що відстань від точки \(a\) до центра кола дорівнює двом радіусам кола, використаємо означення відстані до точки від центру кола і властивості прямокутних трикутників.

Нехай \(O\) - центр кола, \(r\) - його радіус, а \(d\) - відстань від точки \(a\) до центра кола \(O\).

Для початку, ми можемо довести, що правильний трикутник \(aOc\) і прямокутний трикутник \(aOb\) є подібними.

Згідно з властивостями прямокутних трикутників, у прямокутному трикутнику \(aOb\) \(aO\) - гіпотенуза, а \(Ob\) та \(ab\) - його катети. Враховуючи властивості прямокутного трикутника, можемо записати співвідношення між довжинами його сторін:

\[Ob^2 + ab^2 = aO^2\]

Оскільки прямокутний трикутник \(aOb\) є пропорційним до прямокутного трикутника \(aOc\), ми можемо записати співвідношення між довжинами їх сторін:

\[\frac{Ob}{aO} = \frac{Oc}{aO}\]

Через те, що \(Ob = r\) (так як \(Ob\) - радіус круга) і \(Oc = d\) (відстань від центру \(O\) до точки \(c\)), ми можемо замінити величини в співвідношеннях:

\[\frac{r}{aO} = \frac{d}{aO}\]

Помножимо обидві частини рівняння на \(aO\) для спрощення:

\[r = d\]

Отже, ми бачимо, що \(r = d\), тобто відстань від точки \(a\) до центра кола \(O\) дорівнює радіусу кола \(r\). Звідси випливає, що відстань від точки \(a\) до центра кола дорівнює двом радіусам кола.

Тут виявляється важливе значення властивостей прямокутних трикутників і подібності фігур, яке дає можливість нам довести це твердження.