Каковы значения гипотенузы и меньшего катета в прямоугольном треугольнике, если один острый угол в два раза меньше

Давайте рассмотрим данную задачу.

Пусть острый угол треугольника равен \(x\) градусам, тогда второй острый угол будет равен \(2x\) градусам.

Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна \(180\) градусам. Так как треугольник прямоугольный, то сумма острого угла и прямого угла будет составлять \(90\) градусов. А значит, углы треугольника могут быть представлены следующим образом:
\[x + 2x + 90 = 180.\]

Свернем это уравнение:
\[3x + 90 = 180.\]

Теперь найдем значение угла \(x\):
\[3x = 180 - 90,\]
\[3x = 90,\]
\[x = \frac{90}{3},\]
\[x = 30.\]

Итак, мы получили, что \(x = 30\) градусов.

Для прямоугольных треугольников, где один угол равен \(30\) градусов, имеются некоторые особые значения для сторон.

Гипотенузу назовем \(c\), а меньший катет \(a\).

В таком случае, у нас существуют соотношения, известные как тригонометрический соотношения.

Так как острый угол равен \(30\) градусам, мы можем использовать соотношение, соответствующее этому углу.

Для треугольников со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), где угол \(30\) градусов, противолежащий катет \(a\), имеем:
\[\frac{a}{c} = \frac{1}{2},\]

Соответственно,
\[a = \frac{1}{2}c.\]

Также, с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, имеем:
\[c^2 = a^2 + b^2.\]

Подставим значение \(a\) из предыдущего соотношения в это уравнение:
\[c^2 = \left(\frac{1}{2}c\right)^2 + b^2,\]
\[c^2 = \frac{1}{4}c^2 + b^2,\]
\[c^2 - \frac{1}{4}c^2 = b^2,\]
\[\frac{3}{4}c^2 = b^2,\]
\[c^2 = \frac{4}{3}b^2.\]

Теперь, поскольку у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(c\) и \(b\)), мы можем решить их одновременно.

Умножим оба уравнения на \(4\) для упрощения выражений:
\[4c^2 = 4 \cdot \frac{4}{3}b^2,\]
\[16c^2 = 16b^2.\]

Теперь мы видим, что \(16c^2 = 16b^2\), или же \(c^2 = b^2\), что означает, что \(c = b\).

В итоге, мы получаем, что гипотенуза и меньший катет в прямоугольном треугольнике, где один острый угол в два раза меньше другого и разность гипотенузы и меньшего катета равна \(b\), будут равны друг другу. Таким образом, значения гипотенузы и меньшего катета будут равны \(b\).