Доведіть, що трикутник, в якому центр описаного кола розташований на медіані, є рівнобедреним

Щоб довести, що трикутник, в якому центр описаного кола знаходиться на медіані, є рівнобедреним, нам потрібно зрозуміти, як працюють медіани та описане коло в трикутнику.

Медіана - це відрізок, який з"єднує вершину трикутника з серединою протилежного ребра. В трикутнику є три медіани, оскільки відрізок, що з"єднує кожну вершину трикутника з серединою протилежного ребра, можна назвати медіаною.

Описане коло - це коло, яке проходить через всі три вершини трикутника. Центр описаного кола є центром кола, яке проходить через вершини трикутника.

Тепер, як ми розуміємо ці терміни, давайте пояснимо, як медіана і описане коло пов"язані між собою.

Медіана трикутника проходить через вершину і середину протилежного ребра. Якщо центр описаного кола знаходиться на медіані, то це означає, що медіана проходить через центр описаного кола. Це також означає, що центр описаного кола розділяє медіану навпіл.

Тепер посмотримо на трикутник, в якому центр описаного кола знаходиться на медіані. Позначимо вершини трикутника як A, B і C, а центр описаного кола як O. Нехай M буде серединою сторони AB, а точка D - точкою перетину медіани AM з колом.

Так як позначення точками важливо, ви можете подивитися візуалізацію наступного малюнку:
\[
\centering
\begin{tikzpicture}
% Трикутник ABC
\draw (2,4)node[above]{$A$}--
(0,0)node[below left]{$B$}--
(4,0)node[below right]{$C$}--
cycle;

% Медіани та їх точка перетину
\draw (0,0)--(3,2)node[midway,above]{$M$};
\draw (2,4)--(2,0)node[midway,right]{$D$};

% Центр описаного кола та саме коло
\draw (1.67,2.67)node[above]{$O$};
\draw (2,2)circle(2.83);
\end{tikzpicture}
\]

Тепер нам потрібно довести, що AM = MD. Завдяки медіані AM ми знаємо, що AM розділяє сторону BC пополам.

Також ми знаємо, що центр описаного кола знаходиться на медіані AM і, отже, ділить її навпіл. Тобто, AO = OM = MO.

А тепер давайте розглянемо трикутник AMD. Ми вже знаємо, що AM = MD і AO = MO. Тому ми можемо сказати, що кут AMO = кут MDO.

Далі, давайте розглянемо трикутник BAC. Він є трикутником, в якому описане коло проходить через всі три вершини. Тому ми знаємо, що кут BAC = кут BOC.

Оскільки у двох внутрішніх кутів трикутника AMO + MOB = 180 градусів (як внутрішні кути в трикутнику BOC), і кут AMO = кут MDO, то можемо сказати, що кут MDO + MOB = 180 градусів (оскільки сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 градусам). Це означає, що кут MOB являє собою прямий кут.

Також ми знаємо, що кут BAC = кут BOC. Оскільки кут MOB = 90 градусів, то кут BAC також має бути 90 градусів.

Таким чином, ми довели, що трикутник, в якому центр описаного кола розташований на медіані, є рівнобедреним, оскільки кути BAC та BCA в цьому трикутнику рівні, а це означає, що відрізок BC (сторона, протилежна рівним кутам) має таку ж довжину, як і відрізок AB.