Доведіть, що площина, яка проходить через середини двох сторін трикутника і не збігається з половиною цього трикутника

Щоб довести, що площина, яка проходить через середини двох сторін трикутника і не збігається з половиною цього трикутника, є паралельною третій стороні, ми можемо скористатися властивістю паралельних ліній.

Позначимо трікутник ABC, де A, B і C - вершини. Нехай M і N - середини сторін AB і BC відповідно. За умовою, площина, що проходить через точки M і N, позначимо як площину P.

Тепер доведемо, що площина P паралельна стороні AC. Для цього застосуємо властивість паралельних ліній, яка говорить, що якщо дві прямі перетинаються з однією площиною так, що кут між ними дорівнює 90 градусів, то ці прямі паралельні.

Розглянемо вектори \(\vec{AM}\) і \(\vec{AN}\), а також вектор \(\vec{AM}\) і \(\vec{AC}\). Оскільки точка M - середина сторони AB, то вектор \(\vec{AM}\) ділить вектор \(\vec{AC}\) навпіл.

Аналогічно, оскільки точка N - середина сторони BC, вектор \(\vec{AN}\) ділить вектор \(\vec{AC}\) також навпіл.

Отже, ми маємо два вектори, \(\vec{AM}\) і \(\vec{AN}\), які ділять вектор \(\vec{AC}\) навпіл. З цього випливає, що кути між векторами \(\vec{AM}\) і \(\vec{AC}\) та \(\vec{AN}\) і \(\vec{AC}\) дорівнюють 90 градусів.

Оскільки площина, яка проходить через точки M і N, паралельна лініям, що містять вектори \(\vec{AM}\) і \(\vec{AN}\), вона також паралельна вектору \(\vec{AC}\).

Таким чином, ми довели, що площина, проходяча через середини двох сторін трикутника і не збігається з половиною цього трикутника, є паралельною третій стороні трикутника.